Symetrie reálných funkcí: Přehled metod

Jak určíme, zda je daná funkce f sudá, lichá nebo vůbec není symetrická? Velice jednoduchým algoritmem pomocí definice.

1. Nejprve se podíváme na definiční obor D( f ). Jestliže tato množina není symetrická vzhledem k počátku, pak funkce f také nemůže být symetrická. Například funkce f (x) = ln(x + 3) má definiční obor D( f ) = (−3,∞), což není symetrické vzhledem k 0. Proto není f symetrická. Na druhou stranu, funkce g(x) = arcsin(x²) + 1/x má definiční obor D(g) = ⟨−1,0) ∪ (0,1⟩, což je množina symetrická vzhledem k počátku a proto by tato funkce mohla být symetrická.

2. Jestliže je definiční obor symetrická množina, uděláme ten hlavní test. Dosadíme -x (obecný bod z definičního oboru, nemůžeme dosadit nějaké konkrétní číslo) do vzorce pro f a zkusíme se zbavit toho znaménka. Jestliže dokážeme toto extra znaménko zmizet, tj. jestliže z f (−x) dostaneme f (x), pak je funkce f sudá. Pokud na druhou stranu dokážeme to znaménko vytáhnout z funkce ven, takže z f (−x) dostaneme -f (x), pak je funkce f lichá. Pokud není ani jedno z toho možné, pak funkce není symetrická. K tomu, abychom znaménko zmizeli nebo jej vyskočili ven, použijeme znalost elementárních funkcí.

Poznamenejme, že ačkoliv obvykle je docela snadné poznat, zda je funkce symetrická nebo ne, občas to tak jednoduché není. Mimo jiné se občas stane, že po dosazení -x dostaneme výraz, který nevypadá jako f (x) nebo -f (x), ale vlastně se jednomu z nich rovná. Takové problémy bývají zrádné. Pokud máte pochyby, tak prostě napište rovnici f (−x) = f (x), za f dejte příslušný výraz a podívejte se, jestli tato rovnice platí pro všechna x. Pokud ano, funkce je sudá, pokud ne (pokud to selže i pro jediné x z definičního oboru), pak určitě není sudá. Podobně můžete zkusit vyřešit f (−x) = −f (x) a pokud to není pravda pro všechna x, pak funkce určitě není lichá.

Příklad: Určete symetrii

Řešení: Jak už jsme viděli, definiční obor je symetrická množina, takže by funkce mohla být symetrická. Dosadíme -x:

Použili jsme toho, že x² je sudá funkce a spolkne to extra znaménko: (−x)² = x². Dostali jsme výraz a zdá se, že není roven ani f (x), ani -f (x). Abychom si byli jisti, zkusíme to:

V obou případech jsme dostali podmínku, která není splněna pro všechna x z definičního oboru. Závěr tedy je, že daná funkce není symetrická.

Všimněte si, že v one arcsinové části znaménko zmizelo. Ukazuje to, že funkce arcsin(x²) je sudá. Na druhou stranu jsme byli schopni vytáhnout to mínus z 1/x. Proto je funkce 1/x lichá.

Pro další příklady odkazujeme na Řešené příklady.

Periodicita
Zpět na Přehled metod - Základní vlastnosti reálných funkcí