Příklad: Určete omezenost následující funkce:

Řešení: Tato funkce je součtem tří členů, začneme tím, že se podíváme na každý z nich. Nejprve ale určíme definiční obor funkce. První člen vyžaduje x∈⟨−1,1⟩. V druhé podmínce máme arcsin, který vyžaduje totéž, a ve jmenovaeli máme x ≠ 1. Ve třetím členu máme logaritmus vyžadující x > 0, potřebujeme se také podívat do jemnovatele, ale protože exponenciála je vždy kladná, máme e^x + 1 > 1 a problém nenastane. Proto

D( f ) = (0,1).

První člen je funkce s definičním oborem ⟨−1,1⟩, na kterém je spojitá, proto je tam podle Věty o extrémní hodnotě omezená. Následně je také omezená na podmnožině (0,1).

Druhý člen je zlomek. Čitatel je součin arcsinu, což je omezená funkce, a exponenciály, což jako celek není omezená funkce, ale je spojitá a tudíž i omezená na omezeném uzavřeném intervalu ⟨0,1⟩, proto také omezená na jeho podmnožině (0,1). Součin dvou omezených funkcí je funkce omezená, takže čitatel je omezený na (0,1).

Teď potřebujeme omrknout jmenovatel. Pokud je oddělen od nuly, dostaneme omezený zlomek. Bohužel, na intervalu (0,1) se člen x − 1 přiblíží libovolně blízko k nule, což ukazuje, že můžeme mít problém. Protože je zlomek spojitý na (0,1), víme, že uprostřed tohoto intervalu nemůžeme mít potíže. Otázka omezenosti se tedy rozhodne podle chování zlomku na krajích. V nule není problém:

ale máme ho na druhé straně:

Tento druhý člen tedy není oemzený na (0,1).

Třetí člen musíme také prozkoumat, i když už jsme v druhém členu ztratili omezenost, protože kdyby se tento také ukázal neomezeným, mohlo by se stát, že se ty dvě "neomezenosti" navzájem pokrátí.

Třetí člen je zase zlomek. Je čitatel omezený? Funkce x je spojitá na ⟨0,1⟩, tudíž je tam omezená a tedy i omezená na podmnožině (0,1). Víme ale, že logaritmus utíká do mínus nekonečna v 0⁺, možná tedy máme problém. Měly bychom teď spočítat limitu v 0 zprava celého zlomku, ale to by byla zbytečná práce, protože zde je omezenost zlomku určena výhradně chováním čitatele.

Je-li totiž čitatel omezený, pak je omezený i celý zlomek, protože už jsme viděli, že je jmenovatel oddělený od nuly, jmenovitě e^x + 1 > 1. Na druhou stranu, pokud by čitatel na některém konci utekl do nekonečna, pak by tam utekl i celý zlomke, protože jmenovatel je pěkná spojitá funkce na ⟨0,1⟩, jinými slovy, nenabízí žádné někonečno v 0 nebo v 1, které by pokrátilo nekonečno v čitateli (pokud tam tedy nějaké je).

Takže jdeme na to. Pro jistotu se podíváme i na pravý konec, i když už jsme viděli, že tam probém není.

Opravdu zajímavý je levý konec, ale to je školní příklad:

Protože jsme v koncových bodech dostali konečné limity, je čitatel omezený a proto (díky oddělení jmenovatele od nuly) také celý zlomek. fraction is bounded.

Teď dojdeme k závěru. První a třetí člen jsou omezené, takže nemohou zrušit neomezenost členu druhého. Daná funkce je proto neomezená.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Reálné funkce