Příklad: Pro následující funkci určete, zda je prostá, a pokud ano, najděte příslušnou inverzní funkci. Prozkoumejte také její monotonii.
Řešení: Nejprve si všimněme, že definiční obor f jsou všechna
reálná čísla kromě
K určení prostoty použijeme standardní postup. Vezmeme x1, x2 z definičního oboru, budeme předpokládat, že po dosazení do f dají stejnou hodnotu, a uvidíme, jestli existuje i jiné řešení než to triviální.
Vidíme, že jediný způsob, jak dostat stejnou hodnotu, je začít ze stejného místo, což ukazuje, že funkce je prostá.
Teď najdeme inverzní funkci řešením rovnice
Teď potřebujeme prozkoumat monotonii. Zatím známe jen definici, takže
zkusíme dokázat jednu ze dvou příslušných implikací. Vezmeme libovolná dvě
čísla
Jak dokážeme takové implikace? Začneme nerovností
Naštěstí je daná funkce podíl lineárních funkcí, na což máme náš oblíbený trik: Vydělíme se zbytkem. V tomto konkrétním případě dokonce máme alternativu k normálnímu algoritmu pro dělení polynomů, jmenovitě vyrobíme výraz ze jmenovatele také v čitateli, nejprve vytvoříme příslušný počet x pomocí dělení/násobení, pak použijeme přičtení/odečtení, abychom upravili absolutní člen. Vypíšeme všechny detaily, při troše zkušeností to ale jde dost rychle.
Tento typ výrazu už můžeme zkusit vyrobit, vždy začneme od x v tomto výrazu a pak jdeme ven podle pořadí výpočtu. Nejprve vynásobíme obě strany dvěma, pak přičteme 2.
Další krok je přesunout lineárky do jmenovatelů na opačných stranách
nerovnice. To se dělá vydělením celé nerovnice příslušným členem, ale tady
narážíme na problém. Když dělíme nerovnost, znaménko členu, kterým dělíme,
rozhoduje, zda máme prohodit směr nerovnice nebo ne. Zde jej neznáme, takže
se jako obvykle podíváme na všechny možnosti. Začneme předpokladem, že
Vydělili jsme nejprve členem
Teď se musíme podívat na druhou alternativu, když
V dalším kroku bychom rádi vydělili členem
"Dobrý" případ je, když také
Stejně jako předtím se změnil směr srovnání a podmínka
Závěr tedy zatím je, že f je klesající na
Máme ale vyšetřovat, takže možná se po nás chce víc. Můžeme ty dvě množiny spojit do jedné (pak už to nebude interval) a prohlásit, že funkce je klesající, popř. nerostoucí na definičním oboru? (Vzhledem k monotonii na jednotlivých podintervalech nic jiného nepřichází v úvahu.) To teď neumíme rozhodnout, je třeba mít nějaké další informace.
Což nás přivádí k poslednímu případu pro proměnné, když
Tentokráte dostáváme implikaci, která naznačuje růst, což nevypadá dobře.
Tvrdíme, že daná funcke není monotonní na svém definitčním oboru. Nemůže být
rostoucí či neklesající kvůli svému chování na oněch dvou intervalech.
Možnost, že je klesající či nerostoucí zase vylučuje ten poslední výpočet. Pokud
například zvolíme
Poznamenejme, že ryzí monotonie implikuje prostotu, z těch klesajících
částí tedy dostaneme, že f je prostá na
Poznamenejme také, že "vydělený" tvar podílu lineárních funkcí usnadňuje i další výpočty. Zkusme se krátce vrátit k prvním dvěma tématům. Nejprve ověříme, že je funkce prostá:
Teď najdeme inverzní funkci.
Snadno se nahlédne, že jsme dostali stejnou funkci jako předtím.