Příklad: Určete konstanty a,b, pro které je následující funkce spojitá:

Řešení: Protože jak a^x, tak vzorec ve třetí alternativě jsou funkce spojité na svých definičních oborech, vyplávý z toho, že i daná funkce f je spojitá na otevřených množinách, kde je definována těmito výrazu. Máme tedy spojitost ve všech bodech kromě 2. Vidíme, že tato otázka je ve skutečnosti problémem spojitosti v 2. Co tam potřebujeme? Chceme, aby jednostranné limity existovaly, konvergovaly a byly rovny f (2) = 8.

Začneme limitou zleva, doleva od 2 je funkce daná výrazem a^x.

Pro spojitost potřebujeme f (2^-) = 8, takže a² = 8. Tato rovnice má dvě řešení, plus a mínus odmocninu z 8, ale protože a má být základem exponenciály, nemůže bát záporné. Proto určíme a jako plus odmocninu z 8, abychom dostali spojitost zleva.

Teď se podíváme na spojitost zprava, napravo od 2 je funkce dána tím zlomkem.

Pokud chceme mít vůbec nějakou naději na konvergenci, potřebujeme nějak zneutralizovat tu nulu ve jmenovateli. Jedna možnost je položit b = 0, ale pak je celý výraz identicky nula a proto také f (2⁺) = 0, takže není možnost z toho dostat 8. Proto není 0 správnou možností pro b. Další možnost je udělat v limitě nulový čitatel, což znamená, že by b² mělo být 4. Jsou dvě možnosti, b může být −2 nebo 2, a my teď zkusíme, jestli některá z těchto volem neudělá limitu rovnou 8. Všimněte si, že tyto dvě hodnoty pro b jsou naší jedinou nadějí na spojitost funkce v bodě 2, a jestli žádná z nich nevyjde, pak ta funkce prostě nejde udělat spojitá ve 2.

Nejprve zkusíme b = −2.

Tak to nevyšlo. Teď zkusíme b = 2.

Měli jsme štěstí, tohle je ta správná hodnota pro b.

Závěr: Funkce f je spojitá pro hodnoty

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Reálné funkce