Příklad: Pomocí transformací odhadněte graf následující funkce:

Řešení: Začneme určením základní funkce. Můžeme ignorovat to "+ 1", protože to je obyčejný posun, který umíme vyrobit, můžeme také ignorovat operace prováděné na argumentu, násobení (−2) a posun o π/2. Zbyl nám cos(x), to bude ona základní funkce.

Začneme tedy s grafem kosinu a nejprve aplikujeme trnsformace na argument. Jsou dva, v pořadí výpočtu to jsou změna měřítka o (−2) a posun o π/2. Pravidlo pro argument říká "od posledního k prvnímu", takže nejprve posuneme graf kosinu o π/2 doleva, pak jej překlopíme okolo osy y, abychom udělali to "-" v (−2), a nakonec graf dvakrát smrskneme ve vodorovném směru, směrem k ose y.

Změna měřítka je občas zrádná, může pmoci, když si člověk hlídá určité klíčové body. Vybereme si nějaký prominentní bod v grafu před smrsknutím, pak jej posuneme vodorovně směrem k ose y tak, aby se jeho souřadnice x zmenčila na polovinu, a získáme jeho novou pozici. Pokud to uděláme s více výraznými body, měli bychom pak dostat ten správný tvar; tento postup může také sloužit jako jakási zkouška, že jsme dostali správný obrázek.

Například když se podíváme na graf po posunu a překlopení, tak se onen "kopec", který byl původně uprostřed, přesunul na pozici x = π/2. Po dvojnásobném smrsknutí by tedy měl být na pozici π/4. Tentýž kopec můžeme určit numericky, nastane, když je argument kosinu nulový, a rovnice π/2 − 2x = 0 má řešení π/4, což potvrzuje, že máme jeho pozici v našem obrázku správně.

Podobně najdeme, že první "ďolík" napravo od počátku byl (po posunu a překopení) na pozici x = −π/2, takže po smrsknutí má být na pozici x = −π/4. Ověříme, že se to shoduje s numerickým řešením: První dolík kosinu je v bodě -π, řešením π/2 − 2x = −π dostaneme x = −π/4, přesně jako v obrázku.

Jen pro jistotu, druhý kladný průnik kosinu s osou x je, když má kosinus argument 3π/2, po posunu a překlopení je v x = −π, takže po smrsknutí musí být na souřadnici x = −π/2. Totéž zase ověříme řešením π/2 − 2x = 3π/2.

Pokus is stále nejse jisti, identifikuje víc bodů, mělo by to pomoci.

Každopádně je teď čas aplikovat posun v hodnotě, což je snadné, prostě posuneme graf nahoru o 1.

Poznámka: Můžeme zase ověřit významné body tohoto grafu porovnáním s výsledky výpočtu. Víme například, že lokální maxima grafu by měly být tam, kde je kosinus roven jedné. To se stane, když je argument roven 2kπ, dostaneme tedy rovnici

π/2 − 2x = 2kπ.

Jejím řešením zjistíme, že by měly kopečky být na pozicích x = π/4 − kπ = π/4 + kπ. (Protože k je libovolné celé číslo, můžeme v něm to "-" schovat, nebylo to nutné, ale vypadá to tak lépe.) To se shoduje s naším obrázkem.

Podobně odvodíme, že "dolíky" by měly být na pozicích x = 3π/4 + kπ a "prostřední body", kde byl kosinus nulový, by měly být na pozicích x = π/2 + kπ. Všecho to souhlasí s naším uhodnutým obrázkem, takže jsme si docela jisti, že je dobře.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Reálné funkce