Násobnost kořene

Většina studentů zná pojem násobnosti kořene pro polynomy. V některých situacích je také potřeba mít podobný pojem také pro jiné funkce než polynomy. Než ukážeme dvě obecné definice, prozkoumáme, jak to funguje u polynomů, ať vidíme, odkud ty obecné nápady přicházejí.

Číslo c je kořenem násobnosti k polynomu p, jestliže dokážeme vytknout člen (x − c)^k z p, ale už nemůžeme vytknout (x − c)^k+1. Například číslo 1 je kořen násobnosti 2 polynomu p(x) = x⁴ − 3x² + 2x, protože

p(x) = (x − 1)²(x² + 2x²)

a z druhého členu už nejde vytknout další člen (x − 1), což se snadno vidí z faktu, že když tam dosadíme 1, nedostaneme 0.

Evidentně tohle nepůjde udělat pro obecné funkce, protože například 0 je kořenem funkce f (x) = 1 − cos(x), ale nejde vytknout x z f. Musíme se tedy podívat na tu proceduru pro polynomy trochu blíže.

Jak ukážeme, že je číslo c kořenem násobnosti k pro polynom p? Vydělíme p členem (x − c)^k a nazveme ten výsledný podíl g. Dosadíme c do g a pokud je ta dokazovaná násobnost dobře, dostaneme nenulové číslo. Pokud je odhadnuté číslo k menší skutečná násobnost, dostaneme po dosazení c do g nulu. Pokud je toto číslo vyšší než násobnost, pak dosazení c do g znamená problém. A skutečně, kdybychom si například (nesprávně) mysleli, že násobnost v příkladě výše je 3, pak by g bylo (x² + 2x²)/(x − 1) a dosazení 1 do něj vede na dělení nulou.

Pokud je f funkce a c je kořen, u kterého odhadujeme násobnost jako k, pak můžeme zkusit ten trik s vydělením členem (x − c)^k a dostaneme nějaké g jako předtím. Tady ale dosazení c do g vede k průšvihu ve většině případů, bez ohledu na to, zda jsme hádali správně nebo ne, protože na rozdíl od polynomů se nedá v g očekávat nějaké vykrácení. Například jsme poznamenali, že x = 0 je kořen funkce f (x) = 1 − cos(x), ale když vydělíme, dostaneme

g(x) = (1 − cos(x))/x.

Tomuto problému se můžeme vyhnout, pokud namísto dosazení použijeme limitu.

Definice.
Nechť c je kořen funkce f. Řekneme, že je to kořen násobnosti k, jestliže funkce

g(x) = f (x)/(x − c)^k

má v c limitu, která konverguje k nenulovému číslu.

Kořenu násobnosti 1 říkáme také jednoduchý kořen.

Příklad: Určete násobnost kořene 0 pro f (x) = 1 − cos(x).

Mohl by to být jednoduchý kořen?

Ne, kořen není jednoduchý. Fakt, že limita konvergovala k nule, ukazuje, že je v g schována další 0 coby kořen. Očekáváme tedy, že 0 je kořen násobnosti nejméně 2.

Konvergence ukazuje, že násobnost je opravdu nejméně 2, a to že výsledek není nula ukazuje, že je to přesně 2. Takže 0 je kořen násobnosti 2 dané funkce f.

Tento postup je rozumný, ale lze jej zkrátit. Všimněte si, že můžeme opakovat l'Hospitalovo pravidlo tak dlouho, dokud je nula v čitateli, což znamená tak dlouho, jak je f a její derivace nula v c. To navádí k další, poněkud praktičtější definici.

Definice.
Nechť c je kořen funkce f. Řekneme, že je to kořen násobnosti k, jestliže f (c) = 0, f ′(c) = 0, ... f ^(k−1)(c) = 0, ale f ^(k)(c) ≠ 0.

Jak to zabere v příkladě výše?

f (x) = 1 − cos(x),     f (0) = 0;
f ′(x) = sin(x),     f ′(0) = 0;
f ′′(x) = cos(x),     f ′′(0) = 1.

Toto potvrzuje, že 0 je opravdu kořen násobnosti 2.

Tento příklad je typický, určovat násobnost pomocí derivace je obvykle ten nejlepší přístup. První definice je ale obecnější, protože nevyžaduje diferencovatelnost v c.

Poznámka: U polynomů je lehké nahlédnout, jak nová definice plyne z té první. Ukážeme to pro násobnost 2. Předpokládejme, že c je kořen násobnosti 2 pro polynom p, tudíž p(x) = (x − c)²g(x) a g(c) není nula. Pak

p(c) = 0;
p′(x) = 2(x − c)g(x) + (x − c)²g′(x),     p′(c) = 0;
p′′(x) = 2g(x) + 4(x − c)g′(x) + (x − c)²g′′(x),     p′′(c) = 2g(c) ≠ 0.

Vyšší násobnosti fungují stejně, ale je pak třeba použít Leibnizovo pravidlo pro derivaci součinu.