Zde budeme předpokládat, že znáte úhly a jak se měří, mimo jiné že znáte radiány. Pokud si nejste jisti, podívejte se na tuto poznámku.
Existuje několik způsobů, jak definovat goniometrické funkce. Připomeneme stručně dva z nich, založené na geometrické představě. Pak se podíváme na vlastnosti goniometrických funkcí, připomeneme nějaké goniometrické identity, zkusíme zavést inverzní funkce a vše zakončíme stručnou poznámkou o sekansu a kosekansu.
Jednotková kružnice. Nechť
α je libovolný úhel.
Uvažujme jednotkovou kružnici v rovině a paprsek, který jde z počátku pod
úhlem
α.
Nechť
Některé z definic samozřejmě nemají smysl, pokud
Zřejmě pak máme
Funkce
Všimněte si, že když tyto funkce definujeme takovýmto způsobem, pak jsou
všechny
Pravoúhlý trojúhelník. Nechť
α je nějaký úhel z
intervalu
Tyto funkce jsou navzájem propojeny stejnými vzorci jak předtím. Jak tyto
definice rozšíříme na libovolný úhel
α? Nejprve definujeme
Pro α z
Pro α z
Dostaneme tak sinus a kosinus na
Tuto část uzavřeme připomenutím hodnot sinu a kosinu pro populární úhly:
Existuje jednoduchý způsob, jak si je pamatovat pomocí levé ruky.
Další praktická poznámka, namísto zápisu
Sinus. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru,
Z periodicity máme
Nulové body sinu jsou body ve tvaru
Co se týče limit v koncových bodech definičního oboru, limita sinu v nekonečnu ani mínus nekonečnu neexistuje.
Derivace:
Kosinus. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru,
Z periodicity dostaneme
Nulové body kosinu jsou body ve tvaru
Co se týče limit v koncových bodech definičního oboru, limita kosinu v nekonečnu ani mínus nekonečnu neexistuje.
Derivace:
Tangens. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru,
Nulové body tangensu jsou body ve tvaru
Co se týče limit tangensu v koncových bodech definičního oboru, limita tangensu v nekonečnu a mínus nekonečnu nemá smysl, protože definiční obor neobsahuje žádné okolí nekonečna ani mínus nekonečna. Limity v konečných koncových bodech definičního oboru neexistují, ale máme tam jednostranné limity:
Derivace:
Kotangens. Definiční obor:
Graf:
Funkce je spojitá na svém definičním oboru,
Nulové body kotangensu jsou body ve tvaru
Co se týče limit v koncových bodech definičního oboru, limity kotangensu v nekonečnu a mínus nekonečnu nemají smysl, protože definiční obor neobsahuje žádné okolí nekonečna či mínus nekonečna. Limity v konečných koncových bodech neexistují, ale máme tam jednostranné limity:
Derivace:
Nejprve pár populárních identit pro sinus a kosinus.
Následující identity jsou méně populární, ale občas velice užitečné.
Sinus a kosinus lze dostat (nebo přímo definovat) pomocí exponenciály a komplexních čísel.
A nakonec tento trik, který je také užitečný.
Evidentně máme problém, když
Teď pár populárních identit pro tangens a kotangens.
Protože sinus a kosinus jdou vyjádřit pomocí komplexních exponenciál, je totéž pravda i pro tangens a kotangens.
A nakonec pár vzorců, které spojují sinus/kosinus a tangens.
Když se podíváme na grafy nahoře, hned vidíme, že žádná ze základních goniometrických funkcí není prostá, takže nemají inverzní funkce. Na druhou stranu, z praktického hlediska by se nějaká inverze velmi hodila, a lidé také skutečně přiřazovali úhly k velikostem stran trojúhelníku dlouho před tím, než matematici vymysleli pojem inverzní funkce. Abychom to udělali správně, použijeme obvyklý trik, omezíme goniometrické funkce na intervaly, na kterých jsou už prosté. Vybereme intervaly tak, aby byly největší možné (takže pokryjí celý obor hodnot) a také aby dávaly "rozumné" úhly, tedy kolem 0. Je totiž mnohem praktičtější dozvědět se, že nějaký úhel je 30 stupňů, než 750 stupňů (měli bychom správně používat radiány, ale stupně jsou snadnější si představit a hlavně je napsat na Web, tak jsme teď udělali výjimku).
Inverzní goniometrické funkce (cyklometrické funkce). Jsou definovány takto. Nejprve omezíme ony čtyři goniometrické funkce na intervaly dle obrázku.
Pak uvažujeme inverzní funkce k těmto restrikcím. Jmenují se arkus sinus (značeno arcsin), arkus kosinus (značeno arccos), arkus tangens (značeno arctg) a arkus kotangens (značeno arccotg).
Grafy těchto funkcí jsou zde:
Teď vypíšeme základní vlastnosti těchto cyklometrických funkcí. Jsou všechny spojité, monotonní a omezené.
Poznámka: Mnoho autorů (a většina výrobců kalkulaček) používá jiné
značení, jmenovitě
Poznámka: Vraťme se k původní otázce, je dáno číslo y a my
chceme najít x splňující řekněme
Nechť
Pokud
Pokud
Nechť
Pokud
Pokud
Nechť
Pokud
Nechť
Pokud
Existují velice zajímavé vzorce spojující goniometrické funkce a jejich inverze. Nejsou moc často používané, ale jsou tak pěkné, že se neudržíme a dáme je tu.
Jen si stručně projdeme jejich vlastnosti. Grafy:
Derivace: