Úvod do reálných funkcí

Reálné funkce jsou nejdůležitějším druhem zobrazení. Poté, co je uvedeme, se podíváme na inverzní funkce a na funkce definované po částech.

Definice.
Pojem reálná funkce reálné proměnné označuje libovolné zobrazení z nějaké podmnožiny reálných čísel do reálných čísel.

Většinou se říká jen ˙reálná funkce a automaticky se tím rozumí reálná funkce reálné proměnné. Jiné typy reálných funkcí (jako například reálné funkce komplexní proměnné) jsou vždy označovány celým jménem.

Pro matematika je tato definice zcela postačující, protože si všechny vlastnosti zobrazení hbitě převede na funkce. Pro praktického uživatele to už tak vhodné není, protože reálné funkce se dají v pohodě používat i bez toho, aby člověk věděl, že nějaká zobrazení existují, asi se také pracuje lépe bez vší té přesnosti. Zkusíme zde proto ukázat, co jsou reálné funkce zač, bez pomoci zobrazení. To se nejlépe udělá příkladem a použijeme jeden inspirovaný fyzikou, protože koneckonců fyzika byla vlastně pro zavedení funkcí hlavní inspirací. Na tomto příkladě také připomeneme pojmy definičního oboru, prostoty, na a inverzní funkce, takže opravdu doporučujeme, ať se na něj podíváte. Raději jej uděláme jako samostatnou stránku, protože je dost dlouhý a taky se na něj ještě budeme odvolávat odjinud.

Příklad.

Teď stručně probereme základní pojmy.

Reálná funkce je předpis, který přiřazuje hodnoty k argumentům. Značení y = f (x) znamená, že k hodnotě argumentu x přiřazuje funkce f hodnotu y. Někdy se také používá značení f : x ↦ y, slovy, funkce f posílá x na y. Nejobvyklejší způsob, jak zadat toto přiřazování, je pomocí nějakého vzorce, tj. funkční hodnota y se obdrží tak, že se x dosadí do určitého vzorce, který definuje danou funkci. Například funkce f (x) = 2x + 3 posílá argument x = −1 na hodnotu f (−1) = 2⋅(−1) + 3 = 1. Velmi speciálním příkladem jsou konstantní funkce, například definice g(x) = 7.3 posílá všechny argumenty x na hodnotu 7.3; to občas mate začátečníky, berte toto tedy jako varování, že se x dá "dosadit" do 7.3 a vyjde 7.3 (takhle: g(5) = 7.3).

Existuje další způsob, jak vyjádřit, že chceme do funkce dosadit nějaké konkrétní číslo. Používá mírně sníženou svislou čárku a vypadá to takto:

Toto značení se obzvláště hodí v případě, že funkce ještě není zralá na dosazení a chceme ji nejprve trochu upravit. Příklad:

Nejlepší způsob, jak si funkce vizualizovat, je pomocí grafu, kdy v dvourozměrné rovině (xy) zaznačujeme všechny páry (xf (x)). Na obrázku jsme vypíchli jeden takový pár.

V případech, kdy je funkce zadána vzorcem, nás také může zajímat její algebraické složení, což je další způsob, jak se dívat na funkce, nezávislý na geometrickém přístupu přes grafy. Pro detaily se podívejte na poznámku o pořadí výpočtu.

Definiční obor funkce je někdy zadán při definici funkce. Mnohem častěji jsou reálné funkce dány pouze předpisem, pak jako definiční obor bereme množinu všech čísel x, která lze do funkce dosadit, tj. pro která má příslušný vzorec smysl. Značí se obvykle Df ), Df  nebo dom( f ), zde budeme používat to první značení. Můžeme psát

Df ) = {x∈ℝ;  f (x) má smysl}.

V typickém případě je definiční obor tvořen sjednocením intervalů.

Obor hodnot dané funkce je množina všech hodnot, kterých lze dosáhnout dosazováním argumentů z definičního oboru do funkce. Obvykle se značí Rf ), Rf  nebo ran( f ), zde budeme používat to první značení. Můžeme psát

Rf ) = { f (x); xDf )}.

Někdy uvažujeme danou funkci pouze na určité podmnožině definičního oboru. Pak řekneme, že jsme udělali restrikci dané funkce na tuto podmnožinu, nová funkce se pak nazývá restrikce. Jestliže je M podmnožina definičního oboru Df ) funkce f, pak restrikce f na množinu M se značí f |M.

Omezená funkce pak má jiný definiční obor a může mít i jiný obor hodnot, i když to není nutné, protože někdy funkce pokryje všechny své hodnoty už na množině, na kterou jsme ji omezili, a na částech, které ignorujeme, je jen opakuje.

Vlastnosti funkcí často silně závisí na jejich definičních oborech, takže je vlastně třeba vždy myslet na funkci a její definiční obor jako na pár. Odráží se to například v následující definici.

Definice.
Řekneme, že se dvě funkce f a g rovnají, značeno f = g, jestliže mají stejný definiční obor D a pro všechna x z D máme f (x) = g(x).

Podívejte se na tento příklad. Tato rovnost evidentně platí:

Teď definujeme dvě funkce.

Ačkoliv jsou tyto dva vzorce stejné algebraicky, funkce si nejsou rovny, neboli nemůžeme psát f = g, protože se liší jejich definiční obory:

Někdy nechceme uvažovat hodnoty f mimo jistou množinu M, ale pořád chceme být schopni pracovat na celém jejím definičním oboru. Pak pojem restrikce nepomůže, namísto toho můžeme hodnoty f mimo M "zabít" tímto trikem:

Tento přístup má několik výhod, jednou z nich je, že funkci g lze vyjádřit algebraicky, viz sekci o charakteristických funkcích v části Teorie - Elementární funkce.

 

Existuje alternativní metoda vizualizace funkcí. Zahrnuje méně informací o dané funkci, ale někdy je vhodná jako zdůraznění funkce coby procedury pro posílání bodů z jedné množiny do jiné. Reálná funkce vlastně posílá body z jedné kopie reálných čísel do jiné (rozdílné) kopie reálných čísel, odlišnost se zdůrazní použitím jiného písmena pro prvky dotyčných množin.

Někdy se dá dokonce přímo ukázat, jak se posílají jednotlivé body, například funkci  f (x) = 2x + 3 lze znázornit takto:

Prostota.
Řekneme, že daná funkce je prostá, jestliže se nemůže stát, že by dva argumenty byly poslány na stejnou hodnotu. Přesně, pro prostou funkci f se nemůže stát, abychom pro různé x1,x2 z definičního oboru měli f (x1) = f (x2). V grafu se pro prostou funkce nestane, že by nějaká vodorovná linie protla graf ve více než jednom bodě. Na obrázku daná funkce f není prostá, ale její restrikce g už je.

V praxi je snažší pracovat s jinou podmínkou, formálně s obměnou té předchozí: Jestliže po dosazení dvou bodů do funkce dostaneme stejnou hodnotu, pak to musel být stejný bod.

Definice.
Řekneme, že funkce f je prostá (nebo injektivní nebo injekce), jestliže pro všechna x1,x2 z jejího definičního oboru platí následující implikace: Jestliže f (x1) = f (x2), pak x1 = x2.

Pokud nám také byla s funkcí f zadána cílová množina B, můžeme se zeptat, jestli je f na (nebo surjektivní nebo surjekce), neboli jestli je cílová množina rovna oboru hodnot, B = Rf ). Tohle se ale prakticky nikdy nestává u reálných funkcí. Většinou nám není cílová množina zadána, pak se jako cílová množina bere obor hodnot a funkce je automaticky na, tuto vlastnost tedy nezkoumáme.

Funkce je bijektivní (bijekce), jestliže je prostá a na. U reálných funkcí se staráme jen o prostotu.

Inverzní funkce

Inverzní funkce k funkci f (nebo krátce její inverze) je funkce g splňující následující podmínky: gf (x)) = x pro všechna x z Df ) a f (gy)) = y pro všechna y z Rf ) — pokud si nejste jisti, co se těmi vzorci míní, koukněte se na kompozici v následující sekci o operacích. První rovnost znamená, že když funkce f pošle argument x do nějakého bodu f (x), pak aplikace inverzní funkce g na toto číslo f (x) "odčiní" toto "poslání" a vrátí vás zpátky, odkud jste přišli. Druhá rovnost říká, že také f ruší činnost g. Dá se dokázat, že když platí první rovnice (pro všechna x z definičního oboru f ), pak automaticky platí i druhá.

Pokud takováto inverzní funkce existuje, značíme ji f−1. Popravdě řečeno, většina učebnic dává přednost vysoce nevhodnému značení f −1, viz poznámka ve výše zmíněném Příkladě.

Známá věta říká, že inverze existuje právě tehdy, když je daná funkce bijekce. Pro reálné funkce máme nicméně speciální verzi.

Věta.
Nechť f je reálná funkce s definičním oborem Df ) a oborem hodnot Rf ). Tato funkce má svou inverzi právě tehdy, jestliže je prostá. Tato inverze je pak jednoznačně určena a splňuje

Df−1) = Rf ),     Rf−1) = Df ).

Graf inverzní funkce se dá získat tak, že se graf f překlopí okolo hlavní diagonály. Toto mimochodem ukazuje, proč je prostota důležitá pro existenci inverze. V následujícím obrázku nejprve máme ukázku funkce, která má inverzi. Druhý obrázek ukazuje funkci, která není prostá (k vyznačené hodnotě y se dostaneme ze dvou míst). Vidíte, že když zkusíme překlopit její graf, dostaneme něco, co rozhodně není grafem funkce, protože funkce nemůžem mít pro jeden argument dvě hodnoty.

K inverzi se vrátíme v následující sekci Operace s reálnými funkcemi, jmenovitě když se tam probírá skládání.

Příklad. Uvažujme funkci

f (x) = 4 − (1 − x)2.

Nejprve se musíme podívat na definiční obor. Jaká čísla x lze dosadit do daného vzorce? Víme, že umocnit na druhou lze libovolné číslo, takže odpověď zní: Všechna reálná čísla. Proto Df ) = ℝ.

Obor hodnot je obvykle mnohem méně důležitý, je také často docela obtížné jej zjistit, takže většinou se tím nenamáháme. Zde je to nicméně docela snadné, tak to zkusíme. Jaké hodnoty lze dostat pomocí vzorce definujícího f ? Ze zkušenosti víme, že druhé mocniny jsou vždy kladné či přinejmenším nula, takže vzorec 4 − (1 − x)2 nemůže dát číslo větší než 4. To ukazuje, že obor hodnot by měla být nějaká podmnožina intervalu (−∞,4⟩. Mohl by třeba být roven tomuto intervalu? Jinými slovy, můžeme dostat z daného vzorce libovolné číslo z tohoto intervalu? To se dá přeložit na následující otázku: Lze obdržet všechna nezáporná čísla pomocí (1 − x)2? Protože odpověď je kladná, usoudíme, že obor hodnot je Rf ) = (−∞,4⟩.

Jak je to s prostotou a inverzí? Víme, že tyto dvě otázky jsou ekvivalentní. Abychom odpověděli na první, zkusíme dokázat implikaci z definice, tedy předpokládáme, že f (x1) = f (x2), a upravujeme:

4 − (1 − x1)2 = 4 − (1 − x2)2,
(1 − x1)2 = (1 − x2)2.

Víme, že tato rovnice má dvě možná řešení. Jedno je 1 − x1 = 1 − x2, neboli x1 = x2, což je triviální řešení, které se dostane vždy (říká, že abychom se dostali do stejného místa, stačí vyjet dvakrát z téhož místa, což evidentně platí vždy). Je tu ale i další řešení, (1 − x1) = −(1 − x2) neboli x2 = 2 − x1. To je mnohem zajímavější, protože to ukazuje, že mohou být dvě různá čísla poslaná do téhož místa. Zkusíme najít nějaká konkrétní, například volbou x1 = 0 dostaneme x2 = 2. Zkouška:

f (x1) = f (0) = 4 − (1 − 0)2 = 3,     f (x2) = f (2) = 4 − (1 − 2)2 = 3.

Potvrdili jsme, že dvěma rozdílným argumentům, 0 a 2, je přiřazena tatáž hodnota, jmenovitě 3. Funkce f proto není prostá a ani nemá inverzi.

Můžeme také zkusit najít inverzní funkci a uvidíme, jestli se to povede. Aby inverze existovala, měli bychom být schopni obrátit přiřazení x ↦ y, neboli je-li dáno y z oboru hodnot f, měli bychom být schopni vyřešit rovnici f (x) = y jednoznačně pro x. Zkusíme:

f (x) = y,      4 − (1 − x)2 = y,      (1 − x)2 = 4 − y.

Víme, že tato rovnice má dvě různá řešení, jmenovitě x se může rovnat 1 mínus odmocnina z 4 − y nebo 1 plus odmocnina z 4 − y, což zase ukazuje, že nemáme inverzi.

Správné kreslení grafu se probírá až později v sekci Průběh funkce v části Derivace - Teorie, takže abychom teď získali alespoň nějakou představu o grafu naší f, zkusíme na něm najít nějaké body, jinými slovy, spočítáme hodnoty f v mnoha bodech x. Samozřejmě, čím více tím lépe, ale pro jednoduchost jich zde zkusíme jen pár:

x:
f (x):
−2
−5
−1
0
-.5
1.75
0
3
0.25
3.4375
0.5
3.75
0.75
3.9375
1
4
1.25
3.9375
1.5
3.75
1.75
3.4375
2
3
2.5
1.75
3
0
4
−5

Znázorníme je ve grafu:

Body zhruba naznačují tvar. Ve skutečnosti je přesným tvarem dolů otočená parabola:

Hned vidíme, že tato funkce není rozhodně prostá, protože s výjimkou vrcholu (1,4) se na všechny úrovně dostaneme ze dvou hodnot argumentu. jinými slovy, tato funkce selhává ohledně prostoty asi tak špatně, jak to jen jde.

Z obrázku také vidíme, že když tuto funkci omezíme jen na jednu větev paraboly (či dokonce jen její kousek), stane se prostou. Uvažujme například funkci g získanou restrikcí f na otevřený interval (−∞,0).

Tato funkce je teď prostá a má inverzi, což potvrdíme tak, že ji úspěšně najdeme. Potřebujeme vyřešit rovnici g(x) = y, což, jak jsme viděli, vede na rovnici (1 − x)2 = 4 − y. Teď ale jediná možná x jsou z intervalu (−∞,0), což znamená, že (1 − x) musí být přinejmenším 1, mimo jiné kladné. Proto když rovnici odmocňujeme, musíme položit (1 − x) rovno kladné odmocnině z 4 − y. Následně dostame

Inverzní funkci jsme tedy našli, tím také dokázali její existenci a to, že funkce g je prostá. Inverzní funkce má definiční obor D(g−1) = (−∞,3), obor hodnot R(g−1) = (−∞,0) a graf

Všimněte si, že jsme zcela přirozeně pro inverzní funkci dostali y jako proměnnou. Protože ve většině případů se dává přednost proměnné x, lidé často při hledání inverzní funkce prohodí proměnné a nakonec by psali g−1(x) = 1 - odmocnina z (4 − x). Zatímco toto není úplně špatně—pro volnou proměnnou lze při práci s jednotlivou funkcí použít libovolné písmeno, není to ani zcela správné. Funkce g−1 totiž neexistuje sama o sobě, ale jen v kontextu s funkcí g. Tato je dána, posílá čísla z kopie reálných čísel označené x do jiné kopie reálných čísel značených písmenem y, zatímco podle definice g−1y) posílá čísla opačným směrem. Toto rozlišení se stává ještě důležitějším při aplikacích, kde mají proměnné své fyzikální významy, prohození proměnných by vedlo k nesmyslům.

Všimněte si, že pokud si zvolíme jinou restrikci na levé polovině paraboly, například na množinu (−∞,1), na (−∞,1⟩ nebo třeba na (−∞,−13⟩, dostali bychom rozdílné inverzní funkce. Všechny by byly dány stejným vzorcem, ale jejich definiční obory a obory hodnot by byly různé. Pokud bychom omezili f na nějakou část pravé větve, například na ⟨1,∞), pak už bychom dostali i jiný vzorec pro inverzi. No a pokud bychom omezili f například na interval (0,2), pak by tato restrikce nebyla prostá a neměla by inverzi.

Poznámka: Když jsme se bavili o inverzi g−1, řekli jsme, že lze změnit písmeno, kterým se označuje proměnná. Co taková změna znamená? Pokud změníme všechny výskyty jednoho písmene v jiné, pak se z matematického hlediska nic nezměnilo. Můžeme si vlastně vybrat libovolné písmeno, pokud to uděláme konsistentně a nepoužijeme totéž písmeno pro jinou věc v téže situaci. Znamená to tedy, že pokud změníme písmeno v popisu funkce, pak se funkce nezmění, jde stále o stejný objekt. Například funkce f (w) = 4 − (1 − w)2 je přesně tatáž funkce jako v Příkladě výše. Změnili bychom také značení u vodorovné osy u grafu a všechno, co jsme v příkladě dělali s x, by se dělalo s w, dostaly by se stejné odpovědi. Jinými slovy, tato nová funkce je naprosto stejná, a například f (k) = 4 − (1 − k)2 je stále stejná funkce, důležité není písmeno, ale výraz funkci definující. Bývá dobré se držet tradičních písmen pro argument (pro proměnnou), ale někdy je výhodné použít písmeno jiné, například protože to lépe ladí s komplikovanou situací.

Více opatrnosti je třeba v případě, kdy je ve hře více písmen, třeba když definice funkce závisí na nějakém parametru p. Například vzorec xp definuje pro pevně zvolenou hodnotu p funkci - jmenovitě mocninu s proměnnou x. Když se objeví více písmen, je třeba opatrnosti, aby se nepopletly proměnné a parametry, je pak také nutná zvýšená opatrnost při změně názvu proměnné.

Funkce definované po částech

Některé funkce nejsou definovány jen jedním vzorcem, ale několika, některé argumenty se dosazují do jednoho vzorce, jiné do jiného vzorce. Říkáme, že taková funkce je definována "po částech", a typický příklad je například tento:

Jak to funguje? Argumenty, pro které umíme počítat f, se dají brát z uzavřeného intervalu ⟨1,2⟩ nebo z otevřeného intervalu (2.5,4), takže definiční obor této funkce je

Df ) = ⟨1,2⟩ ∪ (2.5,4).

Když chceme dosadit nějaké x z definičního oboru, nejprve se podíváme, do které alternativy spadá, podle toho pak použijeme příslušný vzorec. Například x = 1.5 patří do prvně jmenovaného intervalu, proto bychom měli použít první vzorec: f (1.5) = 1.52 = 2.25, zatímco 3 náleží do druhého intervalu a proto f (3) = 4 − 3 = 1. Když si chceme představit graf f tím, že zkusíme spočítat mnoho bodů, měli bychom brzy dojít k pocitu, že graf f vypadá tak, že dáme dohromady kousek grafu funkce x2 odpovídající intervalu ⟨1,2⟩ a kousek grafu funkce 4 − x odpovídající intervalu (2.5,4):

A přesně tak se také zkoumají funkce definované po částech. Každý případ se zkoumá zvlášť, grafy a odpovědi se pak dají dohromady. Mohou se také objevit zajímavější podmínky, například funkce

Ta má definiční obor

D(g) = {−1} ∪ (0,3) ∪ {4} ∪ ⟨5,∞)

a graf

Některé hodnoty: g(−1) = (−1)6 = 1 (poslední alternativa), g(1) = 1 (třetí alternativa), g(2.3) = 1 (třetí alternativa), g(4) = 3 (druhá alternativa), g(6) = 6 − 4 = 2 (první alternativa), g(7) = 7 − 4 = 3 (první alternativa).

Tato idea - dávat funkci dohromady po kouskách - se používá nejen u funkcí definovaných po částech, ale také u funkcí definovaných jedním vzorcem, které ale mají definiční obor sestaven z více částí. Například funkce h(x) = 1/x má definiční obor D(h) = (−∞,0) ∪ (0,∞), protože do tohoto vzorce lze dosadit všechna čísla kromě nuly. Dá se tedy prozkoumat zvlášť část grafu napravo a část grafu nalevo od nuly a pak to dát dohromady.

Někdy je funkce dána jen jedním vzorcem, ale definice po částech je v něm skryta, což je především příklad absolutní hodnoty.

Pro více informací o funkcích definovaných po částech viz sekce Funkce definované po částech v časti Derivace - Teorie - Průběh funkce.


Operace s reálnými funkcemi
Zpět na Teorie - Reálné funkce