Příklad: Najděte třetí derivaci funkce

Řešení: Začneme tím, že najdeme první derivaci. Funkce je dána vzorcem, takže ji zderivujeme pomocí pravidel. Poslední operace, kterou děláme při výpočtu, je násobení (je to součin dvou členů), proto tím začneme a použijeme součinové pravidlo.

Teď musíme zpracovat dvě derivace. Ta první je elementární, pamatujeme si pro ni vzorec. Ta druhá pracuje se složeným výrazem (je to logaritmus něčeho), takže potřebujeme aplikovat řetízkové pravidlo, kde vnější funkcí bude logaritmus (při výpočtu se dělá poslední, takže se derivuje první). Pamatujeme si, že derivace ln(y) je 1/y, takže to použijeme s x + 1 na místě y.

Derivace lineárního výrazu je něco, co bychom si měli pamatovat:

[Ax + B]′ = A.

Dostaneme tedy

Teď tohle zderivujeme, abychom dostali druhou derivaci. Poslední prováděná operace je sčítání (je to součet dvou členů), takže použijeme linearitu derivace.

První derivace má jako poslední operaci součin, takže použijeme součinové pravidlo. V druhé derivaci jako poslední operaci dělíme (výraz je podíl dvou členů), takže použijeme podílové pravidlo.

Vezmeme to zleva. První derivace je z lineárního výrazu, pravidlo už jsme viděli. Pak máme derivaci složeného logaritmu, kterou už jsme před chvílí spočítali, tak okopírujeme výsledek. Ve zlomku máme nejprve jednu elementární derivaci, kterou už jsme jednou dělali, a pak máme derivaci lineárního výrazu. Dostaneme

Abychom dostali třetí derivaci, zderivujeme ještě jednou druhou derivaci. Nejprve použijeme linearitu derivace, pak na dvou místech podílové pravidlo.

Všchny derivace jsou typy, které už jsme viděli, s výjimkou té napravo. Tam vidíme skládání, vnější funkce y² (s derivací 2y) je složena s vnitřní funkcí x + 1, použijeme tedy řetízkové pravidlo.

Nezapomněli jsme určit definiční obor derivace. Všimněte si, že poslední výraz je jako takový definován rovněž pro x < −1, ale protože na této oblasti neexistuje původní funkce f, nemůže tam existovat ani její derivace.

Poznámka: Někteří lidé si pamatují speciální pravidla pro derivace elementárních funkcí, která už v sobě zahrnují řetízkové pravidlo. Například u tohoto příkladu by použili pravidla

[ln(y)]′ = (1/y)⋅[y]′,       [y²]′ = 2y⋅[y]′.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Derivace