Derivace je jedním z klíčových nástrojů při výpočtu limit, jmenovitě l'Hospitalovo pravidlo. Naopak nejčastější způsob, jak najít jednostranné derivace, je přes limitu. Začneme tím druhým.
Věta.
Nechť f je funkce spojitá v bodě a zprava a diferencovatelná na nějakém pravém prstencovém okolí a. Pak
pokud limita existuje.
Nechť f je funkce spojitá v bodě a zleva a diferencovatelná na nějakém levém prstencovém okolí a. Pak
pokud limita existuje.
Příklad:
Hlavní výhoda tohoto přístupu je v tom, že můžeme použít algoritmický způsob derivování (pravidla), což je obvykle snažší než to dělat přes definici. V tomto konkrétním případe ale definice také není tak hrozná, viz sekce Derivace v části Teorie - Úvod.
Poznamenejme, že tato věta vypadá opravdu pěkně, pokud použijeme krátké značení pro jednostrannou limitu:
f ′+(a) = f ′(a+) a f ′-(a) = f ′(a-).
Věta (l'Hospitalovo pravidlo).
Nechť a je reálné číslo, ∞ nebo −∞. Nechť f,g jsou funkce definované na nějakém prstencovém okolí a. Předpokládejme, že je splněna jedna z následujících dvou podmínek:
(1) Jak f tak g konvergují k 0 v a;
(2) |g| jde do ∞ v a.
Pak
pokud limita napravo existuje.
Analogická věta také platí pro jednostranné limity. Důkaz této věty je založen na Cauchyho větě z předchozí sekce. Protože je l'Hospitalovo pravidlo tak významné pro limity, budeme jej raději komentovat v sekci l'Hospitalovo pravidlo v části Funkce - Teorie - Limita.
Derivace a monotonie
Zpět na Teorie - Věta o střední
hodnotě
