Příklad: Dokažte, že pro všechna reálná čísla x, y máme

Řešení: Uvažujme funkci f (t) = arctg(t). Nerovnice, kterou máme dokázat, se pak dá přepsat takto:

Potřebujeme tedy zjistit, jak velký je ten zlomek, ale ten výraz vypadá jako něco z Věty o střední hodnotě. Jsou splněny její předpoklady? Vezmeme-li libovolná dvě čísla x < y, pak je funkce arkustangens spojitá na intervalu ⟨x,y⟩ a diferencovatelná na intervalu (x,y). Větu o střední hodnotě tedy lze aplikovat a říká nám, že existuje nějaké c mezi x a y takové, že

Můžeme tedy odhadnout

Toto dokazuje naše tvrzení.

Poznámka: Pokud položíme v právě dokázaném odhadu y = 0, dostaneme nerovnost

Pro x velká toto není příliš překvapující, neboť víme, že arctg je omezený a tedy x jej musí dříve či později přerůst, je ale zajímavé, že tento odhad funguje také pro malá x. Podobný odhad lze dokázat (analogickým postupem) pro funkci sinus.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Věta o střední hodnotě