Asymptoty: Přehled metod

Rozeznáváme tři druhy asymptot: svislé, vodorovné a šikmé. Poznamenejme, že formálně patří vodorovné asymptoty mezi ty šikmé, ale z praktického hlediska je lepší je brát jako zvláštní případ.

Uvažujme funkci f.

Algoritmus pro svislé asymptoty:
Krok 1. Najdeme body, kde funkce může mít svislou asymptotu. Podezřelé body jsou: koncové body intervalů z definice; koncové body intervalů z definičního oboru; body, kde se něco nezdá se spojitostí.
Krok 2. Pro každý podezřelý bod a najdeme všechny jednostranné limity v a, které mají smysl (záleží na tom, na které straně a je funkce definovaná). Jestliže je alespoň jedna z těchto limit nevlastní, pak má funkce svislou asymptotu v a (nebo jinak: přímka x = a je svislá asymptota této funkce).
Poznámka: Pokud zkusíme jednu jednostrannou limitu a je nevlastní, pak už tam máme svislou asymptotu a nemusíme počítat tu druhou jednostrannou limitu (pokud má vůbec smysl).

Algoritmus pro vodorovné asymptoty:
V nekonečnu: Jestliže je funkce definovaná na nějakém okolí nekonečna, pak najdeme její limitu v nekonečnu. Pokud je tato limita vlastní a rovna L, pak je přímka y = L vodorovná asymptota f v nekonečnu.
V mínus nekonečnu: Jestliže je funkce definovaná na nějakém okolí mínus nekonečna, pak najdeme její limitu v mínus nekonečnu. Pokud je tato limita vlastní a rovna L, pak je přímka y = L vodorovná asymptota f v mínus nekonečnu.

Algoritmus pro šikmé (nevodorovné) asymptoty:
V nekonečnu:
Krok 1. Pokud je funkce definovaná na nějakém okolí nekonečna, najdeme její limitu v nekonečnu. Pokud je tato limita vlastní nebo neexistuje, pak v nekonečnu není šikmá asymptota. Pokud je nevlastní, jdeme na další krok.
Krok 2. Najdeme

Jestliže tato limita diverguje (nebo je nula), pak f nemá v nekonečnu šikmou asymptotu. Pokud konverguje (a není nula), jdeme na další krok.
Krok 3. Najdeme

Pokud tato limita diverguje, pak f nemá v nekonečnu šikmou asymptotu. Pokud konverguje, tak je přímka y = Ax + B šikmou asymptotou funkce f v nekonečnu.

V mínus nekonečnu:
Krok 1. Pokud je funkce definovaná na nějakém okolí mínus nekonečna, najdeme její limitu v mínus nekonečnu. Pokud je tato limita vlastní nebo neexistuje, pak v mínus nekonečnu není šikmá asymptota. Pokud je nevlastní, jdeme na další krok.
Krok 2. Najdeme

Jestliže tato limita diverguje (nebo je nula), pak f nemá v mínus nekonečnu šikmou asymptotu. Pokud konverguje (a není nula), jdeme na další krok.
Krok 3. Najdeme

Pokud tato limita diverguje, pak f nemá v mínus nekonečnu šikmou asymptotu. Pokud konverguje, tak je přímka y = Ax + B šikmou asymptotou funkce f v mínus nekonečnu.

Příklad: Určete asymptoty funkce

Řešení: D( f ) = (−∞,−1) ∪ (−1,∞), funkce je spojitá.

Kandidáti pro svislé asymptoty: vlastní koncový bod x = −1 je jediný. Podíváme se na jednostranné limity:

Nemusíme tu druhou jednostrannou limitu počítat, už víme z této, že f má svislou asymptotu v −1.

Asymptota v nekonečnu: Podíváme se na limitu

To ukazuje, že v nekonečnu není vodorovná asymptota. Mohla by tam ale být šikmá, použijeme příslušný algoritmus.

Pořád je šance.

Závěr je, že přímka y = x/2 + 1 je asymptota v nekonečnu.

Asymptota v mínus nekonečnu: Podíváme se na limitu

To ukazuje, že v mínus nekonečnu není vodorovná asymptota. Mohla by tam ale být šikmá, použijeme příslušný algoritmus.

Pořád je šance.

Závěr je, že přímka y = x/2 + 1 je asymptota v mínus nekonečnu.

Mimochodem, pokud chcete vidět, jak tato funkce vypadá, podívejte se na Příklad v sekci Přehled metod - Průběh funkce - Přehled).

Pro podrobnosti a další příklad viz Asymptoty v části Teorie - Průběh funkce, viz také příslušné příklady v části Řešené příklady.

Zpět na Přehled metod - Průběh funkce