Přehled kreslení grafů: Přehled metod

Předpokládejme, že funkce f je rozumná, což zde znamená, že se její definiční obor skládá z nejvýše spočetně intervalů takových, že je na každém z nich dvakrát diferencovatelná. Abychom načrtli graf takovéto funkce, používáme tento postup.

Algoritmus kreslení průběhu funkce:
Krok 1. Určíme definiční obor f, průsečíky s osami (pokud je to možné), symetrii a periodicitu, spojitost (někdy s pomocí limit z Kroku 2). Pro detaily o těchto tématech viz Funkce - Přehled metod - Reálné funkce.
Krok 2. Najdeme příslušné jednostranné limity ve všech krajních bodech intervalů z definičního oboru f, případně také intervalů z definice f. Pro informace o limitě viz Funkce - Přehled metod - Limita. Kde je to možné, interpretujeme tyto výsledky jako asymptoty, v případě nutnosti včetně algoritmu pro šikmé asymptoty, viz Přehled metod - Průběh funkce - Asymptoty.
Krok 3. Najdeme derivaci f ′. Pomocí ní určíme intervaly monotonie a lokální extrémy, pro více informací viz Přehled metod - Průběh funkce - Monotonie a lokální extrémy.
Krok 4. Najdeme druhou derivaci f ′′. Pomocí ní určíme intervaly konvexity a inflexní body, pro více informací viz Přehled metod - Průběh funkce - Konvexita a inflexní body.
Krok 5. Nakreslíme graf. Jsou dvě strategie:
1) Při každém kroku tohoto postupu rovnou zanášíme získaná data do obrázku, v každém kroku obrázek zpřesňujeme.
2) Nejprve uděláme všechny výpočty, pak dáme do obrázku všechna body, pak zkombinujeme informaci o monotonii a konvexitě a vytvoříme konečný tvar. Pro detaily viz Složky správného kreslení grafů v části Teorie - Průběh funkce.

Příklad: Načrtněte půběh funkce

Řešení: Df ) = (−∞,−1) ∪ (−1,∞), funkce je spojitá. Protože definiční obor není symetrická množina, ani funkce nemůže být symetrická, periodická taky není.

Průsečíky: f (0) = 2, rovnici  f (x) = 0 nejde rozumně vyřešit, tak to vzdáme.

Limity v koncových bodech:

Vidíme, že v x = −1 máme svislou asymptotu, pomocí příslušného algoritmu také zjistíme, že je asymptota y = x/2 + 1 v nekonečnu a také v mínus nekonečnu (pro detaily viz Příklad v sekci Přehled metod - Průběh funkce - Asymptoty). Mimochodem, protože f spadne do záporných čísel v −1 a f (0) > 0, vyplývá z toho, že musíme mít průsečík s osou x mezi −1 a 0.

Najdeme derivaci a pomocí ní určíme, že f je rostoucí na (−∞,−3⟩ a na (−1,∞), je klesající na ⟨−3,−1). Má lokální maximum f (−3) = −11/8, také má vodorovnou tečnu v f (0) = 2 (pro detaily viz Příklad v sekci Přehled metod - Průběh funkce - Monotonie a lokální extrémy).

Najdeme druhou derivaci a pomocí ní určíme, že f je konkávní na (−∞,−1) a na (−1,0⟩, je konvexní na ⟨0,∞). Má inflexní bod f (0) = 2 (pro detaily viz Příklad v sekci Přehled metod - Průběh funkce - Konvexita a inflexní body).

Výpočty jsou hotovy, je čas na obrázek. Nakreslíme souřadnicové osy a zaznačíme všechny body a limity v koncových bodech, abychom graf ukotvili.

Teď spojíme tabulky monotonie a konvexity, abychom měli lepší představu o tvaru grafu.

Nakonec tento tvar "pověsíme" na kotevní body a dostaneme graf, použijeme ještě informaci o vodorovné tečně v 0.

Poznámky:
Pokud by funkce, kterou kreslíme, měla vlastní limitu v některém vlastním koncové bodě (viz Krok 2), pak potřebujeme vědět, kterým směrem máme začít kreslit graf z toho bodu. To zjistíme tak, že spočítáme příslušnou jednostrannou derivaci v dotyčném bodě, nejspíše pomocí limity, a v tomto případě nemusíme vyžadovat spojitost, viz tato poznámka.

2. Jestliže je f funkce daná rozpisem, pak je nejlepší strategie dělat všechny kroky zároveň pro všechny výrazy definující tuto funkci a rovnou spojovat informace. Pro podrobnosti viz sekce Funkce dané rozpisem v části Teorie - Průběh funkce, viz také tento příklad v části Řešené příklady - Průběh funkce.

3. Jestliže f obsahuje absolutní hodnotu (nebo více absolutních hodnot), pak je třeba začít tím, že se jich zbavíme a zapíšeme tuto funkci jako funkci danou rozpisem. Viz příslušný příklad v části Řešené příklady - Průběh funkce.

Pro další příklady viz Složky správného kreslení grafů v části Teorie - Průběh funkce a příslušné příklady v části Řešené příklady.


Monotonie a lokální extrémy
Zpět na Přehled metod - Průběh funkce