Příklad: Vypočítejte integrál

Řešení: Tento integrál nezapadá do žádného specializovaného šuplíku (racionální funkce, odmocniny, goniometrické funkce atd.), takže bychom na něj měli jít přes zíkladní principy, pokud možno substitucí. Je tu nějaký kandidát? Ve skutečnosti je dokonce několik dobrých kandidátů, hlavním podezřelým je vnitřní funkce ve složené exponenciále. V typickém případě bychom si označili exponent jako y a pak se zeptali, jestli najdeme jeho derivaci u dx. Derivace je (až na konstantu) rovna sinu a ten tam máme, lze snadno přesunout doprava, takže se dá, že nebudou žádné potíže.

Protože si subtituce a určitý integrál spolu dobře rozumějí, necháme si tam ty meze, ale musíme je změnit do nové proměnné.

Teď je to jasný případ pr integraci per partes, ukázkový exemplář typu "odstraňujeme mocniny". Postupujeme tedy příslušným způsobem, označíme si polynom jako f a zbavíme se jej derivací.

To bylo snadné. Jen ze zvědavosti, kdyby byl ten integrál zadán jako neurčitý, dostali bychom

Mluvili jsme o více substitucích, které to jsou? Většinou se vyplácí být skromnější a zaměřit se na podstatu problému, v tomto případě na kosinus v exponenciále. Substituce je pak jednodušší, ale per partes mírně komplikovanější.

Klíčovým problémem je integrace při hledání g. Zkušený integrátor takovou věc dělá z fleku, takže jej nezdrží a tento způsob řešení považuje za optimální, protože jej nezatěžuje konstantami při první substituci.

Je také možné zvolit kompromis.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Integrace