Příklad: Rozhodněte, zda tento integrál konverguje:

Řešení: V tomto integrálu jsou dva problémy, jmenovitě obě meze. Nekonečno je zjevné a x = 1 vede k nule ve jmenovateli. Proto musíme integrál rozdělit, například

Teď se podíváme na konvergenci těchto dvou integrálů a začneme druhým. Protože to vypadá jako dost jednoduchý integrál, zkusíme jej spočítat:

(o tom posledním už víme, že diverguje). Znamená to, že nemusíme počítat ten další integrál (od 1 do 2), celý daný integrál je divergentní.

Poznámky:
1. Všimněte si, že konvergence toho integrálu, který jsme nahoře vypočítali, nelze rozhodnout našimi testy. Nejprve zkusme srovnání. Pro x > e určitě máme

Pak také

a Srovnávací kritérium selhalo.

Mohli bychom se pokusit srovnat danou funkci s mocninami, které mají v nekonečnu konvergentní integrál, ale to není možné. Mělo by to být vidět, když se pokusíme o limitní srovnání. Testovací funkce g(x) = 1/x je příliš velká:

Když zkusíme ve jmenovateli vyšší mocninu, testovací funkce zase bude příliš malá. Přesně řečeno, pro každé p > 1 vede volba g(x) = 1/xp k

Mocniny tedy nepomohou coby testovací funkce v Limitním srovnávacím kritériu.

Teď je dobré si připomenout škálu mocnin v nekonečnu. Zatímco 1/x dává divergentní integrál, vyšší mocniny už dávají konvergentní integrály. Daná funkce je vmáčknuta přesně mezi tyto dvě alternativy. Opravdu, výpočty limit v tomto příkladě ukazují, že pro libovolné p > 1 máme pro velká x. Tím se vysvětluje, proč naše testy nemohly fungovat, dané funkci se povedlo zapadnout přesně do mezery mezi divergentními a konvergentními testovacími integrály. Můžeme to považovat za obohacení naší testovací škály. Dokonce se dá dokázat podobným výpočtem jako u daného integrálu, že integrál

konverguje přesně tehdy, když p > 1.

2. I když nebylo k vyřešení příkladu nutné prozkoumávat integrál z 1 do 2, je to nicméně dobré cvičení. Protože snadno integrujeme, provedeme přímý výpočet:

Takže tento integrál také diverguje. Okolo 1 se ale logaritmus chová úplně jinak než kolem nekonečna. Například okolo nekonečna nelze logaritmus porovnat s žádnou mocninou (jak jsme viděli v předchozí poznámce), zatímco pro hodnoty x blízké k 1 máme ln(x) ∼ (x − 1); toto plyne například z teorie Taylorových řad. Protože okolo x = 1 je logaritmus jediným zdrojem potíží, ignorujeme x v čitateli a zkusíme následující volbu testovací funkce:

Teď už ověření vyjde:

Protože testovací integrál

diverguje, podle Limitního srovnávacího kritéria diverguje také integrál z f od 1 do 2.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Nevlastní integrály