Zde se podíváme na hlavní otázku. Máme funkci f a číslo a a rádi bychom tuto funkci vyjídřili jako součet mocninné řady se středem a. Začneme teorií a pak se podíváme na rozvoj pomocí vlastností. Na závěr se podíváme na opačný proces, k dané řadě zkusíme najít její součet.
Jak už jsme pro obecný případ naznačili v sekci Systémy funkcí, jsou dvě otázky, které musíme zodpovědět: Které funkce lze takto vyjádřit a jak pro ně najdeme jejich řadu. První otázka je opravdu těžká, za chvíli dáme jen částečnou odpověď. Začneme definicí.
Definice.
Nechť f je funkce a a nějaký bod z vnitřku jejího definičního oboru.
Řekneme, že jsme funkci f rozvinuli v mocninnou řadu (v a), jestliže najdeme nějakou mocninnou řadu takovou, žena nějakém okolí a.
Této mocninné řadě se pak říká rozvoj funkce f.
Z výsledků předchozí sekce vyplývá, že každá funkce, kterou lze takto rozvést, musí mít derivace všech řádů v a. To nám říká, že nemá smysl se pokoušet rozvíjet jiné funkce. Také to říká, že když mluvíme o rozvoji, máme všechny ty derivace k dispozici.
Počátečním bodem našeho zkoumání je Důsledek na konci předchozí sekce. Předpokládejme, že máme funkci, kterou lze vyjárdřit jako řadu v a. Jestliže dosadíme tento střed a do vzorce pro n-tou derivaci, okamžitě dostáváme následující.
Věta (jednoznačnost rozvoje).
Nechť f je funkce, kterou lze rozvinout v mocninnou řaduna nějakém okolí bodu a. Pak pro každé k koeficient ak nutně splňuje
Jinými slovy, existuje jen jeden způsob, jak rozvinout funkci v mocninnou řadu (pokud je to vůbec možné). Tato jedinečná řada si zasluhuje jméno.
Definice.
Nechť f je funkce a a nějaký bod z vnitřku jeho definičního oboru. Předpokládejme, že f má derivace všech řádů v a. Pak definujeme její Taylorovu řadu v a vzorcem
Vzoreček pro koeficienty je stejný jako v případě Taylorova polynomu, takže je to opravdu něco jako "nekonečný Taylorův polynom".
Všimněte si, že ta věta výše byla jen implikace. To znamená, že jakmile funkci rozvineme v mocninnou řadu, pak už ta řada musí nutně být Taylorovou řadou. Když ale vezmeme funkci se všemi derivacemi v a a vytvoříme Taylorovu řadu podle příslušného vzorce, tak už není zaručeno, že ta řada bude konvergovat někde jinde než v a, a i kdyby konvergovala, tak není jisté, zda bude konvergovat k původní funkci f. Například v této poznámce ukazujeme příklad funkce, která je "pěkná" podle většiny měřítek (má derivace všech řádů a všude), její Taylorova řada konverguje ke svému součtu stejnoměrně na celé reálné ose, ale přesto je součet této Taylorovy řady roven původní funkci jen v jednom bodě, ve středu řady (kde musí být rovnost pro všechny funkce a řady, takže nebylo na výběr). Situace, kdy máme problém přinutit řadu, aby šla na správné místo, se objevuje při práci se systémy funkcí často a přivádí nás k následujícímu značení.
Tilda znamená, že řada napravo byla získána z f pomocí vzorců výše (je to Taylorova řada pro f ), ale také to znamená, že tento proces vytváření řady byl čistě formální, v této chvíli nemáme žádné informace o tom, zda součet této řady má něco společného s f.
Naším cílem je samozřejmě změnit tuto tildu v rovnost, čili rádi bychom viděli, že Taylorova řada napravo konverguje k f alespoň někde (kromě a, kde je konvergence automatická). Jak se to dá poznat? Podle definice bychom měli vzít částečné součty TN řady T a podívat se, zda konvergují k f.
Ekvivalentně řečeno, rádi bychom zjistili, jak se chovají rozdíly
Předpokládejme, že f má derivace všech řádů na nějakém okolí U bodu a. Nechť je x takové, že uzavřený interval I s krajními body a a x leží v U. Chceme vědět, kdy je pravda, že
Všimněte si, že v tomto vzorci je x pevně zvoleno a proto je
Věta.
Nechť f je funkce taková, že má derivac všech řádů na nějakém okolí U bodu a. Nechť T je její Taylororova řada v a.
Jestliže existuje konstanta M taková, že| f (k)(t)| ≤ Mk pro všechna přirozená čísla k a všecha t z U, pak T konverguje (stejnoměrně) k f na U.
Dostáváme tedy skupinu funkcí, jejichž Taylorova řada je jim opravdu rovna, jmenovitě funkce se stejnoměrně omezenými derivacemi. Tato podmínka je nicméně příliš omezující, jsou také další funkce, jejichž Taylorova řada konverguje, kam má. Najít správnou charakterizaci je velice těžké, rozhodně za obzorem Math Tutoru, a necháme to profesionálním matematikům.
Jsou funkce, jejichž rozvoje najdeme velice snadno. Podle jednoznačnosti
rozvoje jsou mocninné řady sami sobě Taylorovými řadami (se stejným
středem). Rozvinout je s jiným středem než "vlastním" už tak snadné není,
ale pořád to jde v případě řad "konečných", tedy polynomů. Tam jen stačí
vytvořit správný střed. Pokud chceme například najít Taylorovu řadu pro
x2 se středem
x2 = [(x − 1) + 1]2 = (x − 1)2 + 2(x − 1) + 1.
Ten poslední vzorec dává mocninnou řadu se středem 1 (její koeficienty jsou
nulové pro
Teď se podíváme na šest slavných rozvojů, které jsou základem pro většinu dalších.
Věta.
Následující rozvoje platí na vyznačených množinách.
Jak tyto vzorce naznačují, volba
Ve všech šesti případech se najde vzorec pro Taylorův polynom snadno z definice. Jak je to s jejich konvergencí? Druhý a třetí vzoreček je jasný, konvergence plyne s předchozí věty (sinus a kosinus mají všechny derivace všude omezené jedničkou).
Větu můžeme použít i pro exponenciálu, ale už ne globálně, protože
exponenciála je omezená jen na omezených množinách. To ale není problém.
Pokud si vezmeme libovolné reálné číslo x, tak můžeme uvažovat
například otevřené okolí
Rozvoj logaritmu lze získat více způsoby, vrátíme se k tomu také ještě níže; co se týče konvergence, zmíněný interval je evidentně největší, v jaký můžeme doufat, protože jsme v předchozí sekci dokázali, že je to přesně obor konvergence této Taylorovy řady. Zbývá ukázat, že součet řady na tomto oboru je přesně ln(x). Zde už ale nemůžeme použít předchozí větu, protože derivace nejsou stejnoměrně omezené. Tento případ je proto komplikovanější, pro detaily viz tato poznámka.
Pátý vzorec je prostě jen geometrická řada, takže na tom není nic nového.
Asi nejzajímavější z těch šesti je poslední vzorec, zvaný také
binomická řada nebo binomický rozvoj. Platí pro všechna
c a A, což mimo jiné znamená,že kombinační čísla lze také
definovat pro obecné číslo A. Dělá se to podle toho druhého vzorce s
tím, že když
Všimněte si také, že když je A přirozené číslo, tak podle
definice jsou všechny koeficienty pro
Tyto vzorce jsou důležité třeba proto, že jen zřídka rozvíjíme funkce podle definice, jako jsme to dělali výše. Ve většině případů používáme různé triky, abychom získali ze známých rozvojů nové. Těch šest nahoře jsou východisky pro většinu takových výpočtů. Co se týče triků, teď se k nim dostaneme.
Abychom získali rozvoje nových funkcí ze známých rozvojů, používáme vlastnosti, které máme potvrzeny pro řady. Věta o algebraických operacích z předchozí sekce dává následující užitečný fakt.
Věta.
Předpokládejme, že máme následující rozvoje na nějakém okolí bodu a.Pak na tomto okolí také máme
Jak je to s dělením
Věta.
Předpokládejme, že funkci f můžeme rozvinou v Taylorovu řadu v a a žef (a) ≠ 0. Pak lze také funkci1/f rozvinout v Taylorovu řadu v a a tato řada má kladný poloměr convergence.
Tato věta nenabízí žádný vzorec pro onu novou řadu - a z dobrého důvodu,
nedá se totiž žádným rozumným způsobem popsat. V praxi se používá
metoda neurčitých koeficientů. Dá se vlastně přímo aplikovat na
Výsledný systém nekonečně mnoha lineárních rovnic o nekonečně mnoha
neznámých
Často také nacházíme vztah mezi funkcemi pomocí derivace a integrálu. Pak použijeme tuto větu z předchozí sekce.
Věta.
Předpokládejme, že máme následující rozvoj na nějakém okolí bodu a.Pak na tomto okolí také
V druhém tvrzení se také dá použít neurčitý integrál, ale pak je třeba najít správnou konstantu. Ukážeme na to jeden příklad níže. Jsou ale i další operace, které mohou pomoci při rozvoji nových funkcí.
Věta (substituce v řadě).
Předpokládejme, že máme následující rozvoj na nějakém okolí bodu a.Pak také
První tvrzení platí pro libovolné A a poloměr konvergence nové řady je stejný jako původní, ale její střed (a obor konvergence) se příslušným způsobem posunou.
Druhé tvrzení platí pro všechna nenulová A a poloměr konvergence nové řady jeRf /|A|.
Třetí tvrzení je trochu problematické, protože výsledek je mocninná řada jen pro velmi speciální g. Obor konvergence se pak musí řešit individuálně.
U prvních dvou tvrzení můžeme dokonce i specifikovat obor konvergence nové
řady. V prvním tvrzení je nový obor stejný jako ten původní, jen posunutý. V
druhém případě se nový obor konvergence dostane smrsknutím původního, pro
záporná A se také musí otočit kolem a. Jinými slovy, pokud
původní řada konverguje v pravém krajním bodě, tak nová také konverguje v
pravém krajním bodě pro
Příklad: Teď odvodíme rozvoj pro
Klíčem k tomuto rozvoji je pozorování, že
Tato řada se pro logaritmus používá často. Původní řada konverguje pro
t splňující
Pokud tento výsledek zapíšeme pomocí y a pak použijeme substituci
Původní řada konverguje pro y splňující
Na druhou stranu, pokud dosadíme
Vzhledem k potížím, které jsme měli s nalezením řady pro
Věta (Lagrangeův inverzní vzorec).
Předpokládejme, že funkci f lze rozvinout v řadu na nějakém okolí bodu a. Předpokládejme dále, žef ′(a) není nula. Označmeb = f (a).
Pak existuje okolí bodu a, na kterém je funkce f invertibilní, a okolí bodu b, na kterém lze tuto inverzní funkcif−1 rozvinout v mocninnou řadu. Navíc lze tuto řadu najít jako
Tuto část uzavřeme ještě jedním užitečným tvrzením.
Věta.
Předpokládejme, že máme následující rozvoj na nějakém okolí bodu a.Pak na tomto okolí také máme následující rozvoje.
(i) Pro každé přirozené číslo n,
(ii) Jestliže má f kořen násobnosti n v a, pak
Druhé tvrzení má smysl z následujícího důvodu. Jestliže je a kořenem
násobnosti n pro f, pak je prvních
Pro další příklady na použití výše popsaných vlastností k rozvoji funkcí viz Přehled metod a Řešené příklady - Řady funkcí.
Část o vlastnostech Taylorových řad uzavřeme jedním snadným faktem, který už se dal uhodnout z oné šestice rozvojů výše.
Fakt.
Nechť je f funkce, která má Taylorovu řadu se středem va = 0, nechť jsou ak její koeficienty.
Jestliže je f lichá, pakak = 0 pro všechna sudá k.
Jestliže je f sudá, pakak = 0 pro všechna lichá k.
Už jsme několikrát zmínili, že sčítání řada bývá dosti obtížné. Výše popsané triky pro rozvoj funkce lze také použít k sečtení dané mocninné řady (za předpokladu, že máme štěstí). Základní myšlenka je, že změníme danou řadu v jinou, kterou už známe, pomocí transformací z probraných vět, přičemž si hlídáme, co to dělá s jejím součtem. Nejlépe se to vysvětlí na příkladě.
Příklad: Najděte součet řady
Existuje řada, která takto vypadá? Je řada, která má členy
Jak je to s hodnotou
Můžeme také zkusit jiný přístup. Často se potřebujeme zbavit k, které
je v řadě navíc. V naší řadě máme přebytečné
Zbývá upřesnit to správné C. Nejsnadnější způsob je prostě dosadit
nějaké pěkné x do poslední rovnosti. Protože nalevo dosazujeme do
f neboli do dané
řady, nemáme moc na výběr. Jediná hodnota, kterou do řady můžeme dát, je
Zdálo by se, že to můžeme vyřešit tím, že dosadíme do předposledního řádku.
Při bližším pohledu to ale není pravda. Všimněte si, že když