Objem rotačního tělesa

Uvažujme oblast R vymezenou shora grafem funkce f a zdola grafem funkce g na intervalu a,b⟩.

Rotace okolo vodorovné osy

Nejprve předpokládejme, že funkce f je kladná a g je identicky nulová - tedy uvažujeme oblast pod grafem f. Zrotujme ji okolo osy x:

Abychom našli objem, rozdělíme osu x na kousky velikosti dx. Pro jeden takový kousek na pozici x je odpovídající svislý pruh pod grafem f tak tenký, že si jeho horní stranu můžeme představit jako přímku. Pokud pruh rotujeme, vzniklé těleso je vlastně komolý kužel.

Protože je jeho výška dx tak malá, můžeme jej aproximovat válcem o shodné výšce a s poloměrem rovným průměru horního a dolního poloměru kužele, jmenovitě f (x). Objem takového válce je už lehký spočítat, je to obsah základny krát výška. Protože mají tyto válce nekonečně malou výšku dx, je vlastně lepší o nich přemýšlet jako o discích tloušťky dx a poloměru f (x). Pokud provedeme tuto proceduru pro každý kousek osy x, tak vlastně aproximujeme celé těleso vhodnými disky:

Sečtením objemů dostaneme

Teď se podíváme na oblast mezi dvěma grafy kladných funkcí, rotovanou okolo osy x:

Objem tohoto tělesa je roven objemu celého tělesa určeného f mínus objem díry, což je těleso určené g:

Můžeme se na tento vzorec také dívat jako na součet objemů mnoha disků určených rozdělením osy x na kousky o velikosti dx. Každý disk má tloušťku dx, vnější poloměr f (x) a poloměr díry g(x).

Pokud nakonec rotujeme okolo jiné vodorovné osy, dané rovnicí y = A, kde A < min(g), znamená to, že se všechny poloměry disků sníží o A.

Dostáváme tedy následující:

Fakt (Metoda disků).
Uvažujme oblast R vymezenou shora grafem funkce f a zdola grafem funkce g na intervalu a,b⟩. Nechť A je číslo splňující A < min(g). Jestliže jsou f a g spojité, objem tělesa obdrženého rotací oblasti R okolo osy rotace dané rovnicí y = A je roven

Rotace okolo svislé osy

Uvažujme oblast R vymezenou shora grafem funkce f a zdola grafem funkce g na intervalu a,b⟩. Nechť A je číslo splňující A < a, představme si těleso obdržené rotací oblasti R okolo svislé osy rotace dané x = A.

Protože teď už máme nějaké zkušenosti, zkusíme najít vzorec pro objem rovnou pro tento obecný případ. Zase začneme rozdělením intervalu a,b na podintervaly velikosti dx. Zvolme podinterval na pozici x. Uvažujme odpovídající svislý pruh mezi f (x) (horní okraj) a g(x) (dolní okraj). Protože je tento pruh tak tenký, můžeme zase předpokládat, že jeho horní a dolní okraj je vodorovný (neboli že obě funkce jsou tam konstantní). Pokud tento pruh otočíme okolo osy x = A, dostaneme velice tenký plášť válce - slupku.

Protože je tak tenká, můžeme její objem aproximovat tím, že vynásobíme její povrch tloušťkou dx. Jaký je povrch? Pokud slupku "rozbalíme", dostaneme obdélník. Jeho výška je rovna výšce rotovaného pruhu, což je f (x) − g(x). Jeho šířka je rovna obvodu slupky, neboli vzdálenosti uražené otáčejícím se pruhem. To je rovno krát poloměr, který je x − A.

Můžeme tedy vypočítat objem jedné slupky. Celé těleso se teď dá rozložit na mnoho velmi tenkých slupek.

Sečtením jejich objemů dostaneme

Jinými slovy máme následující:

Fakt (Metoda slupek).
Uvažujme oblast R vymezenou shora grafem funkce f a zdola grafem funkce g na intervalu a,b⟩. Nechť A je číslo splňující A < a. Jestliže jsou f a g spojité, objem tělesa obdrženého rotací oblasti R okolo osy rotace dané rovnicí x = A je roven

Objem rotačního tělesa daného parametrickou křivkou

Uvažujme parametrickou křivku x = x(t), y = y(t) pro t z α,β⟩. Předpokládejme, že y(t) ≥ 0 pro všechna t a že x(t) je rostoucí. Uvažujme oblast pod touto křivkou:

Teď budeme postupně rotovat tuto oblast kolem vodorovné a svislé osy a najdeme výsledný objem. Bude to vlastně stejné jako předtím, protože použijeme myšlenku z metody disků a metody slupek - vezmeme řez a rotujeme jej. Jediný rozdíl je, že pro obě souřadnice máme parametrické vyjádření, které se objeví jako poloměr disků, popřípadě jako výška a poloměr rotace slupky. Změní se také tloušťka disku/slupky, kde použijeme transformační vzorec pro diferenciál: dx=x′(t)dt (viz obsah). Dostaneme tak následující:

Fakt.
Uvažujme parametrickou křivku x = x(t), y = y(t) pro t z α,β⟩. Předpokládejme, že y(t) ≥ 0 pro všechna t a že x(t) je monotónní. Předpokládejme rovněž, že y a x′ jsou spojité. Nechť R je oblast pod touto křivkou.

Objem tělesa získaného rotací oblasti R okolo vodorovné osy rotace dané rovnicí y = A, kde A ≤ 0, je roven

Objem tělesa získaného rotací oblasti R okolo svislé osy rotace dané rovnicí x = A, kde A < min(x(t)), je roven


Povrch rotačního tělesa
Zpět na Teorie - Aplikace