Příklad: Uvažujme konečnou oblast o třech stranách vymezenou grafy funkcí

Najděte objem tělesa získaného rotací této oblasti okolo osy dané rovnicí y = −1.

Řešení: Nejprve nakreslíme obrázek:

Je tam více oblastí vymezených danými třemi křivkami, ale jen dvě z nich jsou omezené a jen jedna z nich má tři strany. Zkusíme ji řezat svisle.

Rotací těchto proužků dostaneme disky (s dírami), což nám říká, že objem najdeme metodou disků a integrací s dx (nebo si prostě zapamatujeme, že vodorovná osa rotace znamená metodu disků). Všimneme si nicméně, že naše pruhy mají dva rozdílné typy horních konců (neboli že horní okraj oblasti je vymezen dvěma různými funkcemi), což znamená, že musíme rozdělit oblast na dvě oblasti základního typu. Dostaneme

Oblast má tvar, který není základního typu ani po prohození os:

Teď máme svislou osu rotace, takže musíme použít metodu slupek, a zase musíme oblast rozdělit na dvě části a použít dva integrály:

Tento integrál se zdá poněkud těžším než ten z metody disků, ale není až tak hrozný, odmocniny se lehce integrují pomocí substituce z = y − 2. Objem by měl samozřejmě vyjít stejně jako v prvním řešení, čtenář si to jistě rád ověří (já jsem to udělal).

Vlastně ani není nutné prohazovat osy, aby se dostaly ty integrály s dy. Podívejme se znovu na původní obrázek, ale s vodorovnými řezy:

Pruhy mají tloušťku dy, což ukazuje, že budeme muset integrovat s dy. Určitý pruh se zvolí tím, že se zvolí nějaká hodnota y. Délka takového pruhu je pak rovna rozdílu horní (pravá) x-ová souřadnice mínus dolní (levá) x-ová souřadnice, tyto musí být vyjádřeny pomocí y. To přirozeně vede k inverzním funkcím k těm daným, a protože máme dva typy levých konců, potřebujeme dva integrály, nejprve y půjde od 0 do 2, pak od 2 do 3 - tímto způsobem pokryjeme všechny pruhy.

Co se stane, pokud jeden takový pruh roztočíme okolo přímky y = −1? Dostaneme tenkou slupku, jejíž povrch je roven výšce slupky (délce pruhu) krát obvod, což znamená 2π krát poloměr (y + 1). Takto dostaneme přesně ony dva integrály.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Aplikace