Příklad: Když pustíme jistý míček na tvrdou podlahu, odrazí se zpět do
výšky rovné
Řešení: Míček začne poskakovat a skáče a skáče a skáče, výška každého skoku je nižší a nižší. Náš předpoklad znamená, že i když jsou skoky velice malé, mechanismus zůstává, takže míček vlastně skočí nekonečně mnohokrát.
K určení celkové uražené vzdálenosti tedy musíme sečíst řadu. Abychom
zjistili kterou, podíváme se blíže na výšky, kterých míček dosahuje během
svých skoků. Evidentně budeme muset použít faktu, že každý skok má výšku
Vidíme, že první etapa je trochu speciální (jede se jen jedním směrem), ale pak přidáváme dvakrát členy, které evidentně tvoří geometrickou řadu.
Protože základ
Ignorovali jsme některé docela podstatné vlivy. "Skutečný" míček má určitou pružnost a v okamžiku odrazu se deformuje. Když jsou skoky velice malé, tak se míček vlastně ani nezvedne z podlahy, jen se trochu natáhne nahoru a zase mírně zmáčkne, a odpor je tak velký, že se míček rychle zastaví. Tohle se ovšem týká jen malých skoků, což příliš nepřispělo k celkové dráze spočítané výše. Chyba je tedy malá a číslo 14 je docela dobrým odhadem.
Bonus: Vrátíme se k nápadu, že míček udělá nekonečně mnoho skoků. Jak dlouho mu to potrvá? Nejprve zjistíme, jak dlouho to míčku potrvá, než dopadne na pdlahu z výšky h. Budeme ignorovat vliv odporu vzduchu, protože pro skákající míček je nepodstatný. Počáteční rychlost je nulová (míček je na vrcholu skoku), proto
Teď tvrdíme, že čas na cestě vzhůru je stejný jako čas cestou dolů.
Podívejme se na jeden poskok. Počáteční rychlost (u země)
v0 se cestou nahoru zmenšuje a na vrcholu dráhy
je nulová. Trvá to čas t0 a máme vztah
Když se na to ovšem podíváme z pohledu energie (a připomeneme, že
zanedbáváme ztráty třením), tak se kinetická počáteční energie daná
rychlostí v0 nejprve zcela přemění v potenciální (vrchol
skoku) a pak zase zpátky na kinetickou, pokud tedy podložku bereme jako
nulovou hladinu pro potenciální energii. Z toho vyplývá, že
Teď už známe časy, které jsou třeba na proletění úseků v obrázku nahoře, takže je sečteme.