Příklad: Když pustíme jistý míček na tvrdou podlahu, odrazí se zpět do výšky rovné 3/4 výšky, ze které byl upuštěn. Rozhodli jsme se ignorovat působení elasticity a fenoménů malých měřítek. Najděte dráhu, kterou míček urazí, pokud jej pustíme z výšky 2 metrů.

Řešení: Míček začne poskakovat a skáče a skáče a skáče, výška každého skoku je nižší a nižší. Náš předpoklad znamená, že i když jsou skoky velice malé, mechanismus zůstává, takže míček vlastně skočí nekonečně mnohokrát.

K určení celkové uražené vzdálenosti tedy musíme sečíst řadu. Abychom zjistili kterou, podíváme se blíže na výšky, kterých míček dosahuje během svých skoků. Evidentně budeme muset použít faktu, že každý skok má výšku 3/4 předchozího skoku.

Vidíme, že první etapa je trochu speciální (jede se jen jedním směrem), ale pak přidáváme dvakrát členy, které evidentně tvoří geometrickou řadu.

Protože základ q = 3/4 splňuje |q| < 1, tato řada konverguje a máme

Ignorovali jsme některé docela podstatné vlivy. "Skutečný" míček má určitou pružnost a v okamžiku odrazu se deformuje. Když jsou skoky velice malé, tak se míček vlastně ani nezvedne z podlahy, jen se trochu natáhne nahoru a zase mírně zmáčkne, a odpor je tak velký, že se míček rychle zastaví. Tohle se ovšem týká jen malých skoků, což příliš nepřispělo k celkové dráze spočítané výše. Chyba je tedy malá a číslo 14 je docela dobrým odhadem.

Bonus: Vrátíme se k nápadu, že míček udělá nekonečně mnoho skoků. Jak dlouho mu to potrvá? Nejprve zjistíme, jak dlouho to míčku potrvá, než dopadne na pdlahu z výšky h. Budeme ignorovat vliv odporu vzduchu, protože pro skákající míček je nepodstatný. Počáteční rychlost je nulová (míček je na vrcholu skoku), proto

Teď tvrdíme, že čas na cestě vzhůru je stejný jako čas cestou dolů. Podívejme se na jeden poskok. Počáteční rychlost (u země) v₀ se cestou nahoru zmenšuje a na vrcholu dráhy je nulová. Trvá to čas t₀ a máme vztah v₀ = g⋅t₀. Pak míček letí dolů a postupně nabere rychlost v₁ ve chvíli dopadu. Toto trvalo čas t₁ a máme vztah v₁ = g⋅t₁.

Když se na to ovšem podíváme z pohledu energie (a připomeneme, že zanedbáváme ztráty třením), tak se kinetická počáteční energie daná rychlostí v₀ nejprve zcela přemění v potenciální (vrchol skoku) a pak zase zpátky na kinetickou, pokud tedy podložku bereme jako nulovou hladinu pro potenciální energii. Z toho vyplývá, že v₀ = v₁, tudíž ze vzorců výše také t₀ = t₁.

Teď už známe časy, které jsou třeba na proletění úseků v obrázku nahoře, takže je sečteme.

Zpět na Řešené příklady - Sčítání řad