Úpravy (mocninných) řad: Přehled metod

Zde se podíváme na dva triky: Jeden se zabývá posunem indexu (v zásadě je to substituce, v kontextu mocninných řad tomu také říkáme úprava mocnin). Druhý trik se týká úpravy začátku řady. Poznamenejme, že oba triky se dají aplikovat (a aplikují se) na obecné řady.

1. Posun indexu. Toto je velice jednoduché. Formálne se aplikuje substituce na index dané řady. Příklad to vysvětlí nejlépe. Máme řadu a rádi bychom jí změnili index tak, aby mocnina u x byla právě jen indexační proměnná.

Protože bychom si v mnoha situacích rádi zachovali původní písmenko indexu, mohli bychom použít další substituci a přejít k výrazu s k coby indexem. V zájmu ušetření času zkušení řadoví manipulátoři prostě jen "posunou k o 2", je to vlastně jako provedení oné substituce, ale místo práce s k a n pracují se "starým k" a "novým k". Když si na to zvyknete, je to nakonec docela jednoduché, mnohem snažší než psát dlouhou substituci. Ukážeme tu substituci znovu, tentokráte s "novým k" označeným v substituční matici hvězdičkou, ale při psaní řady tu hvězdičku vynecháme.

Když si na to zvyknete, můžete to dělat z hlavy. Samozřejmě to ale není nutné, když se na to necítíte, klidně to hrajte na jistotu jako my v prvním postupu. Děláme to tu tak i my v Math Tutoru.

2. Úprava začátku řady. Někdy indexace dané řady začíná s indexem n0, ale my bychom raději, aby začala v n1. Jeden snadný způsob nápravy je použít posun indexu, jak byl vysvětlen výše, příslušná substituce je k* = k − n0 + n1.

To by ale změnilo vzorečky v řadě, což často nechceme. Je ještě další způsob, zachová řadu tak, jak byla zadána, a navíc je velice snadný: Prostě z řady odděláme členy navíc, nebo k ní přidáme členy chybějící (pak je zase musíme odečíst, se zachovala rovnost). V následujících dvou příkladech upravíme řady tak, aby jejich indexy začínaly v 2.

Jestliže lze danou řadu přepsat jako geometrickou řadu, pak je obvykle lepší použít jiný trik, vytknutí vhodné mocniny. Máme totiž

Toto se nejčastěji používá s n1 = 0.

 

Jaký může být důvod použít takové triky? Často chceme sečíst dvě řady. U obecných řad na to potřebujeme, aby řady sdílely indexaci, čili jejich indexy musí začínat stejným číslem, což jsme řešili v bodě 2.

Při sčítání mocninných řad potřebujeme víc, tam potřebujeme stejnou indexaci, ale také stejné mocniny u (x − a). Pak obvykle nejprve upravíme mocniny (bod 1) a poté upravíme začátek indexace, ale v té chvíli už musíme zachovat indexaci, abychom nezkazili správné mocniny; proto můžeme použít pouze přičítací/odčítací postup (bod 2).

Často také dostaneme mocninnou řadu postupem, který nevedl na "čisté" mocniny (x − a)k, ale na nějaké posunuté. Pak se doporučuje použít posunu indexace tak, abychom dostali čisté mocniny. Všimněte si nicméně, že to není vždy rozumně možné, v některých případech proto raději řady ponecháváme v "přirozeném" tvaru.


Konvergence mocninných řad
Zpět na Přehled metod - Řady funkcí