Je-li dána mocninná řada, tak víme, že konverguje na nějakém okolí svého středu (někdy i včetně některého z krajních bodů tohoto okolí). Její konvergenci lze tedy popsat pomocí těchto základních parametrů: Středu, poloměru konvergence, oboru absolutní konvergence a oboru konvergence. Někdy nás až tak moc nezajímá, co se děje v krajních bodech, pak první dvě data (střed a poloměr) stačí.
1. Určení středu. To je velice snadné. "Oficiální" tvar mocninné řady
obsahuje členy
2. Určení poloměru konvergence. Toto se dělá vyšetřením absolutní
konvergence dané řady.
Krok 1. Aplikujte absolutní hodnotu na členy řady a zjednodušte, mimo
jiné by se v ní měl objevit člen
Krok 2. Použijte na tuto řadu buď
odmocninové kritérium
nebo
podílové kritérium.
V příslušná konstantě se ve většině případů (ale ne nutně) objeví
Krok 3. Ověřte konvergenci vyřešením nerovnice
Pokud se člen
Alternativa: Někteří lidé dávají přednost použití vzorce
Nevýhodou je, že jej lze použít jen na řady v "oficiálním" tvaru, zatímco postup popsaný výše lze použít i na řady v jiném tvaru (viz příklad níže).
3. Určení chování v krajních bodech. Krajní body jsou
Toto samozřejmě platí jen pro případ kladného R, pro R nulové
či nekonečné žádné krajní body nejsou.
4. Obor konvergence. Pokud je poloměr konvergence kladný, pak obor
konvergence je interval daný středem a poloměrem,
Ten otevřený interval výše je obvykle také oborem absolutní konvergence.
Jediná výjimka je v případě, kdy dostaneme konvergenci v obou krajních
bodech, v kterémžto případě je obvykle oborem absolutní konvergence uzavřený
interval a souhlasí s oborem konvergence.
Jestliže
Jestliže
Poznámka: Často dostáváme mocninnou řadu, která není ve správném tvaru,
což obvykle znamená, že namísto
Příklad: Vyšetřete konvergenci řady
Nejprve řadu přepíšeme, aby byla v příslušném tvaru.
Její střed je tedy
Dostáváme tedy poloměr konvergence
Ze středu a poloměru konvergence vidíme, že krajní body jsou −4 a 0 (viz obrázek níže), teď se na ně podíváme.
x = −4: Dosadíme do dané řady (jak jsme si ji přepsali) a dostaneme
Toto je slavná alternující harmonická řada, o které víme, že konverguje podle Leibnizova kritéria, viz příklad zde.
x = 0: Dosadíme do dané řady a dostaneme
To je stejně slavná harmonická řada, o které víme, že diverguje (nebo použijeme p-test).
Závěr: Obor konvergence je interval
Pro někoho je to snažší, když si nakreslí obrázek, do kterého postupně doplňuje data.
Poznámka: Řada v našem příkladě nebyla zadána ve správném tvaru. Jak by se aplikoval výše popsaný algoritmus přímo na ni, jak je zadána?
Střed se najde vyřešením rovnice
Konstanta ϱ se najde podobně jako předtím.
Takovýto postup je obvykle jednodušší. Pokud jste však zvyklí hledat poloměr konvergence pomocí vzorce, pak řadu nutně musíte nejprve upravit na předpisový tvar.
Pro další příklady viz Řešené příklady - Řady funkcí.