Příklad: Vyšetřete konvergenci následující posloupnosti funkcí:

Řešení: Nejprve se podíváme na bodovou konvergenci. Budeme považovat x za parametr a spočítáme limitu vzhledem ke k. Protože je sinus omezený číslem 1 a faktor před ním jde k nule, dostaneme

Formálně se dá použít například srovnání.

Závěr: Daná posloupnost konverguje k funkci f (x) = ex/4 na celé reálné ose (což je tedy obor konvergence této posloupnosti).

Jak je to se stejnoměrnou konvergencí? Začneme zkoumáním rozdílu mezi f a jednou konkrétní fk na právě zjištěném oboru konvergence.

Právě jsme dokázali stejnoměrnou koncergenci.

Závěr: Daná posloupnost konverguje k funkci ex/4 stejnoměrně na celé reálné ose.

Požádal jsem počítač o pár grafů, abychom alespoň přibližně ukázali, co se tu děje.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí