Příklad: Vyšetřete konvergenci následující posloupnosti funkcí:

Řešení: Nejprve se podíváme na bodovou konvergenci. Budeme považovat x za parametr a spočítáme limitu vzhledem ke k. Vidíme, že typ této limity záleží na hodnotě x:

Vidíme tedy, že tato posloupnost diverguje pro záporná x. Pro kladná x použijeme l'Hôpitalovo pravidlo (připomeňme že x je parametr, takže teď předstíráme, že k prochází reálnými čísly, a derivujeme vzhledem k tomuto k).

Závěr: Daná posloupnost konverguje k funkci f (x) = 0 na oboru konvergence ⟨0,∞).

Jak je to se stejnoměrnou konvergencí? Začneme zkoumáním rozdílu mezi f a jednou konkrétní fk na právě zjištěném oboru konvergence.

Toto globální maximum zjistíme obvyklým způsobem, identifikujeme podezřelé body a porovnáme hodnoty/limity v těchto bodech (teď je k pevná parametr a používáme x jako pracovní proměnnou).

Vidíme, že

Takže vidíme, že vzdálenost mezi limitou f a členy posloupnosti fk zůstávají velké, když se na ně díváme globálně na celém oboru konvergence, tudíž na této množině nemáme libovolně dobré aproximace f pomocí fk. Jinými slovy, bodová konvergence, kterou jsme předtím našli, není stejnoměrná. Počítačový výstup souhlasí s naším teoretickým výsledkem.

Pokud zvolíme nějaké kladné x, tak v tomto bodě jdou funkce fk k 0 (a zdá se, že docela rychle). Na druhou stranu, vidíme tam hrbol konstantní výšky klouzající doleva směrem k počátku (určili jsme, že maximum k-té funkce se nachází v bodě 1/k), který kazí stejnoměrnou konvergenci. To naznačuje, že problém se v zásadě vyskytuje v počátku. Pokud jej odřízneme a zaměříme se na nějakou množinu typu M = ⟨a,∞) pro kladné a, tak z ní dříve či později ty hrboly odjedou a pro velká k už budou funkce fk malé na M. Tuto úvahu teď potvrdíme příslušným výpočtem.

Zvolme nějaké a > 0, uvažujme množinu M = ⟨a,∞). Jestliže je k dostatečně velké, jmenovitě jestli k > 1/a, pak 1/k < a a tudíž je funkce fk klesající na M. Proto

Snadno se ověří, že Mk jdou k 0 pro k jdoucí do nekonečna, což dokazuje stejnoměrnou konvergenci na množině M.

Závěr: Daná posloupnost konverguje k funkci 0 stejnoměrně na každé množině typu M = ⟨a,∞) pro nějaké kladné a.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí