Příklad: Sečtěte následující mocninnou řadu.

Řešení: Potřebujeme danou řadu převést na řadu, kterou už známe. Protože v této řadě nejsou faktoriály a neumíme je nějakými triky vyrobit, nebudeme schopni použít řady pro exponenciálu, sinus a kosinus. Zaměříme se tedy na geometrickou řadu (popřípadě na logaritmickou či binomickou řadu, pokud si je náhodou pamatujeme). Žádná z těchto řad nemá k v čitateli, takže se toho rozhodně musíme zbavit. Víme, jak na to: Když integrujeme řadu, dělíme členy výrazem k + 1. Zde ve jmenovateli potřebujeme k, což dostaneme integrováním členů x^k−1. Dokonce víme i to, jak takové mocniny v naší řadě dostat (vytkneme x).

Vypadá to, že máme plán, jak řadu upravit takovým způsobem, aby v ní byly jen členy x^k, čili aby z ní byla geometrická řada, kterou už umíme sečíst. Označme součet dané řady jako f a začněme podle našeho plánu.

Máme skoro geometrickou řadu, jediný problém je se začátkem její indexace, ale i na to známe fintu. Můžeme použít obecný trik přičtu-odečtu k doplnění chybějících členů, ale u geometrické řady raději vytýkáme nejnižší člen v řadě přítomný. Všimněte si, že výpočty byly v pořádku pouze pro nenulová x.

Teď tuto rovnici vyřešíme pro f (x).

Výpočty jsme dělali pro x různé od 0, ale nakonec jsme dostali dvě funkce, které jsou si rovny na intervalu s výjimkou jednoho bodu uprostřed; protože jsou obě funkce spojité, musíme také dostat rovnost v tom jednom bodě.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí