Příklad: Pro následující funkci najděte její Fourierovu řadu, sinovou Fourierovu řadu a kosinovou Fourierovu řadu; pro každou řadu určete její součet.

Řešení: Toto vypadá jako standardní příklad, takže použijeme obvyklý postup.

Fourierova řada:
Když danou funkci rozšíříme periodicky, bude její perioda T = 2π. Odpovídající frekvence je tedy ω = 1. Teď dosadíme do příslušných vzorců, dva z těchto tří integrálů se musí počítat pomocí integrace per partes.

Dostaneme tedy

neboli

K nalezení součtu této řady použijeme Jordanovy podmínky. Nejprve nakreslíme periodické rozšíření dané funkce f a pak ve všech bodech nespojitosti umístíme tečky na úrovních, které tam průměrují levé a pravé limity.

Sinová Fourierova řada:
Vzhledem k tomu, že v získané Fourierově řadě vystupují pouze siny, tak už to je sinová řada. Dalo se to čekat vzhledem k tomu, že periodické rozšíření, které jsme si nakreslili, je lichá funkce, takže je to automatické.

Co by se stalo, kdybychom aplikovali standardní postup pro získání sinové Fourierovy řady? Nakonec bychom dostali stejný výsledek.

Sinovou Fourierovu řadu dostaneme tak, že uvažujeme rozšíření dané funkce f na interval ⟨−2π,0) tak, aby byla výsledná funkce lichá. Původní funkce měla délku definičního oboru L = 2π, proto tato nová funkce utvoří periodické rozšíření s T = 4π a s poloviční frekvencí ω = 1/2. Víme, že když nasadíme standardní postup na tuto novou situaci, tak se vzorce zjednoduší natolik, že nakonec dostaneme obvyklé vzorce s L namísto T, aplikované na původní interval, ale s novým ω. Pro sinovou řadu jsou koeficienty a₀ a a_k automaticky nulové, stačí tedy spočítat b_k.

Dostaneme tedy

Všimněte si, že výraz 1 + (−1)^k je roven 0 pro lichá k, takže se liché násobky z řady vytratí. Pro sudá k se tento výraz stane roven 2. Můžeme tedy přepsat tuto řadu jen na sudé násobky tak, že k nahradíme pomocí 2k.

Kosinová Fourierova řada:
Teď použijeme standardní postup k nalezení kosinové Fourierovy řady. Dostaneme ji rozšířením dané funkce f na ⟨−2π,0) tak, aby byla výsledná funkce sudá. Původní funkce měla délku definičního oboru L = 2π, proto tato nová funkce utvoří periodické rozšíření s T = 4π a s poloviční frekvencí ω = 1/2. Zase víme, že když nasadíme standardní postup na tuto novou situaci, tak se vzorce zjednoduší, tentokráte jsou b_k automaticky nula a musíme vypočítat a₀ a a_k.

Dostaneme tedy

Všimněte si, že výraz (−1)^k − 1 je roven 0 pro sudá k, takže sudé násobky z řady vymizí. Pro lichá k se výraz rovná −2. Můžeme tedy řady přepsat jen pro liché násobky tak, že nahradíme k výrazem 2k + 1. Abychom dostali všechna kladná lichá čísla (včetně 1), musíme začít indexaci od 0.