Důležité číselné množiny

Zde připomeneme důležité číselné množiny: přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla, reálná čísla a nakonec se krátce podíváme na komplexní čísla. Podíváme se na některé vlastnosti těchto množin, a to do větší hloubky, než by bylo pro Math Tutor nutné, ale pro trpělivého čtenáře to může být zajímavý pohled na vývoj číselných množin a na abstraktní uvažování skryté za věcmi, které používáme každý den.

Přirozená čísla jsou 1, 2, 3, 4, 5 a tak dále. Množina všech přirozených čísel se značí ℕ. První "nožička" písmene je zdvojená (nebo jinak zdůrazněná), matematici takto naznačují, že to není jen množina, ale komplikovanější struktura, jmenovitě také máme na této množině nějaké operace a můžeme ji uspořádat.

Sčítání.
Jak všichni víme, přirozená čísla lze sčítat. Tato operace splňuje některé užitečné vlastnosti. První věcí, kterou je třeba při zavádění operace na množině zkontrolovat, je zda je tato množina uzavřená vzhledem k této operaci, což zde znamená, že když vezmeme dvě přirozená čísla a sečteme je, tak zase dostaneme přirozené číslo (nemůžeme se pomocí operace dostat "ven" z množiny). To je zde samozřejmě pravda. Máme také tyto vlastnosti:

• komutativní zákon, tj. x + y = y + xpro každá dvě přirozená čísla;
• asociativní zákon, tj. (x + y) + z = x + ( y + z) pro každá tři přirozená čísla;
• zákon krácení, tj. pokud máme x + y = x + z, pak nutně y = z.

V algebře bychom řekli, že struktura (ℕ,+) tvoří "komutativní semigrupu", ale tady nás to nebude zajímat.

Násobení.
Zase víme, že množina přirozených čísel je uzavřená vzhledem k násobení. To má o jednu vlastnost více než sčítání.

• Je komutativní.
• Je asociativní.
• Má identitu, což je prvek e takový, že x ⋅ e = e ⋅ x = x pro všechna x. Tato identita je samozřejmě číslo 1.
• Splňuje zákon krácení.

V algebře bychom řekli, že struktura (ℕ,⋅) tvoří "komutativní monoid", ale zde s tím nebudeme otravovat. Všimněme si, že sčítání nemá na množině přirozených čísel identitu. Ještě se k tomu níže vrátíme.

Tyto dvě operace pěkně spolupracují, jmenovitě splňují

• distributivní zákon, tj. x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z a ( y + z) ⋅ x = y ⋅ x + z ⋅ x pro libovolná tři čísla.

Uspořádání.
Množinu přirozených čísel lze přirozeně uspořádat dvěma binárními relacemi. Relace "<" splňuje tyto vlastnosti:

• tranzitivní zákon, tj. jestliže x < y a y < z, pak nutně x < z;
• zákon trichotomie, tj. pro libovolné dva prvky x a y platí přesně jedno z následujících tří: x < y, y < x, x = y.

Tato relace dobře spolupracuje se sčítáním a násobením:

• Jestliže x < y, pak x + z < y + z a x ⋅ z < y ⋅ z pro libovolné z.

Druhou relací je relace "≤". Ta splňuje následující vlastnosti:

• reflexivita, tj. x ≤ x pro všechna x;
• antisymetrie, tj. jestliže x ≤ y a y ≤ x, pak x = y;
• tranzitivita;
• porovnatelnost, tj. pro libovolné dva prvky x a y platí právě jedno z následujících dvou: x ≤ y nebo y ≤ x.

První tři vlastnosti znamenají, že tato relace je částečné uspořádání, když přidáme čtvrtou, tak dostaneme, že (ℕ,≤) je lineárně uspořádaná množina. Poznamenejme, že ta poslední vlastnost není samozřejmá, například relace býti podmnožinou (A ⊆ B) je také částečné uspořádání (mezi množinami), ale nesplňuje tu poslední podmínku.

I toto uspořádání si dobře rozumí se sčítáním a násobením.

Problémy:
Přirozená čísla jsou nádherná struktura, ale něco přeci jen chybí, a když se to snažíme napravit, dostaneme jiné číselné množiny. Jaké problémy to jsou?

1. Sčínání nemá identitu.
To se napraví snadno, uvažujeme množinu {0,1,2,3,4,...}, což zde budeme značit ℕ₀. Teď už má i sčítání prvek identity, takže z algebraického úhlu pohledu je tato množina "lepší". Někteří autoři ji také berou coby množinu přirozených čísel. Proč jsme to tu neudělali? Jsou dva důvody.

Je to takto pohodlnější. Jsou situace, kdy chcete množinu {1,2,3,...}, a jindy potřebujete množinu {0,1,2,3,...}. Bylo by pěkné mít jednoduché značení pro obojí. Když zavedeme přirozená čísla tak, jak jsme to tu udělali,tak máme jednoduché značení i pro tu druhou množinu, jak jsme právě viděli. Onen malý symbol X₀ totiž obecně indikuje, že jsme přidali "0" k množině X. Kdybychom považovali i 0 za přirozené číslo, pak bychom pro množinu {1,2,3,...} museli použít něco nepřirozeného nebo něco komplikovaného typu ℕ − {0}.

Druhý důvod je možná trochu sporný, ale pro mne ještě pádnější než ten první. Čísla 1,2,3,... jsou opravdu přirozená, jakmile začnete přemýšlet nad světem kolem sebe, dřív či později na ně přijdete. Na druhou stranu nula je mnohem pokročilejší pojem, začala být používána okolo roku 850 v Indii a ještě v 17. století proti ní byl v Evropě odpor.

2. Nemožnost řešit rovnice.
Jsou-li dány dvě přirozená čísla a a b a rovnice a + x = b, můžeme vždy najít přirozené číslo x, pro které by se ta rovnost stala pravdivou? Odpověď je snadná: Pouze pokud máme štěstí. Dokážeme vyřešit 13 + x = 15, ale už ne 13 + x = 5.

Stejný problém máme s násobením, například dokážeme vyřešit 3 ⋅ x = 15, ale už ne 3 ⋅ x = 5. Tyto problémy zkusíme napravit tím, že uvedeme bohatší číselné množiny.

K pojmu celých čísel dojdeme, když zkusíme spravit ten problém s řešením rovnic pro sčítání. Platí, že abychom uměli řešit všechny rovnice, stačí umět vyřešit rovnice a + x = 0. Abychom takovou rovnici mohli vyřešit, potřebujeme záporná čísla, což v algebraickém kontextu znamená inverzní prvky vzhledem ke sčítání.

Zkusíme tedy přidat tyto prvky k přirozeným číslům (a k 0), definujeme celá čísla jako {0,1,−1,2,−2,3,−3,...} a značíme je ℤ. Ta tlustá nožička zase naznačuje, že to není jen množina, ale máme i strukturu (operace, uspořádání). Mimochodem, toto přidání prvků není až tak lehké, jak to vypadá, což se v plné síle projeví v posledních částech této sekce. Pokud jste zvědavi na to, kde je háček, podívejte se sem.

Množina celých čísel je uzavřená vzhledem ke sčítání a sčítání teď splňuje tyto vlastnosti:

• Je komutativní.
• Je asociativní.
• Má identitu, zde e = 0.
• Pro každý prvek má inverzní či opačný prvek, tj. pro každé x existuje prvek y takový, že x + y = y + x = 0. Tento inverzní prvek se značí (−x).

V algebře bychom řekli, že (ℤ,+) je komutativní grupa, což je v zásadě to nejlepší, co se dá o operaci říct. Když už jednou máme inverzní prvky, dokážeme vyřešit rovnici a + x = b pro libovolné a a b, máme také automaticky zákon o krácení.

V praxi mluvíme o operaci zvané "odčítání", ale z algebraického úhlu pohledu taková věc neexistuje, protože když píšeme x − y, tak vlastně míníme x + (−y).

Násobení stále má tytéž vlastnosti jako dřív, ale s jednou výjimkou, zákon krácení už nefunguje. Můžeme krátit, ale pouze pokud x není nula. Tato vlastnost však není až tak důležitá a neztratili jsme ji úplně, takže je to malá cena, kterou rádi zaplatíme. Sčítání a násobení jsou stále svázány distributivním zákonem. Když vezmeme v potaz všechny vlastnosti, v algebře bychom řekli, že (ℤ,+,⋅) je komutativní okruh s multiplikativní jednotkou, nebo že je to obor integrity.

Přidání prvků navíc nezkazilo hlavní vlastnosti oněch dvou uspořádání, "<" stále splňuje zákony tranzitivity a trichotomie, "≤" je zase lineární uspořádání. Teď ale máme trochu problém s relacemi a operacemi. Se sčítáním pořád fungují dobře, ale u násobení musíme být opatrnější.

Nechť x je celé číslo. Řekneme, že je kladné, jestliže 0 < x. Řekneme, že je záporné, jestliže x < 0. Prvky celých čísel se tak rozdělí do tří skupin: {0}, kladná celá čísla (což je vlastně množina přirozených čísel) a záporná celá čísla. Prvky těchto tří skupin se teď chovají rozdílně vůči násobení.

• Jestliže x < y, pak x ⋅ z < y ⋅ z pro z kladné a y ⋅ z < x ⋅ z pro z záporné. Podobně pro "≤".
• x ⋅ y je kladné, jestliže jsou x a y kladné nebo jestliže jsou x a y záporné.
• x ⋅ y je záporné, jestliže jsou x a y jeden kladný a druhý záporný.

Tak jsme vyřešili problém s řešením rovnic pro sčítání, ale ne pro násobení. To bude další krok. Než se do toho dáme, uvedeme další obecné značení, které se občas používá. Jestliže je X množina čísel, pak X ⁺ značí množinu všech prvků z X, které jsou kladné, a X ^- značí množinu všech prvků z X, které jsou záporné. Například ℤ⁺ = ℕ.

K racionálním číslům dojdeme, když se snažíme řešit rovnici a ⋅ x = 1. Je jasné, že pro a = 0 není možné řešit. Nemůžeme tedy čekat něco tak pěkného, jak jsme měli předtím se sčítáním, ale uděláme, co budeme moci. Jestliže a není nula, pak máme šanci takovou rovnici řešit, dostali bychom inverzní prvek k a vzhledem k násobení. V množině celých čísel je nemáme, ale je možné přidat všechny potřebné inverzní prvky do této množiny a dodefinovat operace tak pěkně, že nedostaneme žádný spor či nezkazíme dobré vlastnosti, které jsme měli předtím.

Takže množinu racionálních čísel definujeme tak, že začneme s celými čísly, pak přidáme abstraktní prvky zvané 1/a pro každé nenulové a, a abychom vytvořili množinu uzavřenou vzhledem k násobení, musíme také přidat všechny možné součiny typu b ⋅ (1/a), značíme je zkráceně b/a a říkáme jim zlomky. Pak musíme definovat, jak naše sčítání a násobení fungují s těmito novými prvky, viz poznámka k rozšiřování na celá čísla. Dostaneme tak množinu racionálních čísel ℚ. Je mimochodem nutné se nějak vypořádat s tím, že jeden prvek je možné dostat několika způsoby ("krácení" ve zlomcích), ale to jde taky zvládnout. Protože všechno děláme přirozeným způsobem, nezkazili jsme si vlastnosti, které jsme měli předtím, a dokonce máme některé nové.

Množina racionálních čísel je uzavřená vzhledem ke sčítání a sčítání je pořád komutativní, asociativní, má identitu a inverzní prvky.

Množina racionálních čísel je uzavřená vzhledem k násobení a násobení splňuje tyto vlastnosti.

• Je komutativní.
• Je asociativní.
• Má identitu, zde e = 1.
• Má inverzní prvek či převrácenou hodnotu pro každý nenulový prvek; tj. pro každé x, které není nula, existuje prvek y takový, že x ⋅ y = y ⋅ x = 1. Tento inverzní prvek se značí x⁻¹ nebo 1/x.

Zase nám platí distributivní zákon. V algebře bychom řekli, že (ℚ,+,⋅) je těleso. Teď také umíme řešit rovnice a ⋅ x = b pro libovolné nenulové a. Zase poznamenejme, že neformálně používáme "dělení", ale v algebře takovou operaci neznáme, všechny výrazy typu a/b se chápou jako a ⋅ b⁻¹.

Také uspořádání, které jsme měli předtím, je možné rozšířit na porovnávání zlomků, aniž bychom ztratili jejich vlastnosti, včetně rozdělení na kladná a záporná čísla. Značení zůstává stejné, například ℚ⁺₀ je množina všech kladných racionálních čísel a přidaná nula.

V zásadě jsme vyřešili všechny výše vypsané problémy, jak jen to šlo. Znamená to, že jsou racionální čísla dokonalá? Odpověď zní, že skoro, ale přeci jen ne. Jsou ohromná a dobře fungují ve většině praktických situací, ale mají jeden problém. Rovnici x ⋅ x = 2 nejde vyřešit.

Předchozí část jsme zakončili tvrzením, které rozhodně není jasné na první pohled, ale je to tak. Již staří Řekové dokázali, že když nakreslíme pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o délce 1, pak se délka přepony nedá vyjádřit racionálním číslem. To může být špatné nebo ne až tak hrozné, podle toho, jak se na to díváte. Pokud jste inženýr, pak stejně nikdy nepracujete s přesnými délkami, a jakmile pracujete s určitou tolerancí, pak vždy můžete vyjádřit délku oné odvěsny "skoro přesně" racionálním číslem, nemusí vás to tedy trápit. Na druhou stranu ten problém ukazuje, že racionální čísla mají závažný nedostatek jako nástroj k přesnému teoretickému popisu přírody, což je docela špatné například pro matiku či fyziku.

Tento nedostatek se objevuje v mnoha podobách. Například posloupnosti, které konvergují, mají jistou vlastnost zvanou Cauchyho vlastnost, což v zásadě znamená, že se směrem ke "konci" posloupnosti už její členy moc nemění. Bylo by pěkné, kdyby každá posloupnost s touto vlastností konvergovala (takový prostor se pak nazývá úplný), ale ve světě racionálních čísel toto neplatí. Pokud například aproximujeme délku oné přepony racionálními čísly s lepší a lepší přesností, pak dostaneme nekonečnou posloupnost racionálních čísel, která jsou blíž a blíže k určitému místu, ale to číslo (přesná délka přepony) není k dispozici, tudíž tato posloupnost nekonverguje. Množina racionálních čísel proto není úplná.

Znamená to také problémy pro uspořádání. Pokud vezmeme množinu, která je omezená zdola, tak bychom rádi měli infimum, což je trochu jako nejmenší prvek množiny (viz sekce Funkce - Teorie - Topologie reálných čísel). Uvažujme nicméně množinu M všech racionálních čísel, která jsou větší než délka oné přepony. Ono "nejmenší" číslo by u této množiny měla být ta délka, ale v množině racionálních čísel není k dispozici. To je velký problém.

Z mnoha úhlů pohledu tak racionální čísla mají "díry". Přirozený nápad by byl je "zaplnit" tak, že přidáme (k množině racionálních čísel) všechny délky, které chybějí. To se dá udělat, takové délky se jmenují "iracionální čísla" a po opatrném dodefinování, jak s takovými čísly pracují sčítání a násobení, dostaneme množinu reálných čísel. Formálně a přesně to není až tak jednoduché, lidé většinou definují reálná čísla jako potencionální limity posloupností tvořených racionálními čísly, které mají Cauchyho vlastnost (tj. reálná čísla jsou všechny délky, které lze dobře aproximovat racionálními čísly).

Každopádně teď máme racionální čísla a jejich strukturu, označíme tuto množinu ℝ. Co o ní můžeme říct?

Za prvé, nezkazili jsme žádnou z pěkných vlastností, které jsme měli pro racionální čísla. Množina reálných čísel je tedy uzavřená vzhledem ke sčítání; sčítání je na ní komutativní a asociativní, má identitu a inverzní prvky ke všem prvkům. Podobně je množina reálných čísel uzavřená vzhledem k násobení; násobení je na ní komutativní a asociativní, má identitu a inverzní prvky ke všem nenulovým prvkům. Distributivní zákon stále platí, takže (ℝ,+,⋅) je těleso. Rovněž srovnání funguje jako předtím. Rozdíl je v tom, že množina reálných čísel s obvyklou vzdáleností je úplná množina, tj. všechny Cauchyho posloupnosti v ní konvergují. To mimo jiné znamená, že tato množina je dost bohatá na to, aby změřila libovolnou délku.

Na reálná (a také racionální) čísla se podíváme blíže v sekci Funkce - Teorie - Topologie reálných čísel. Zde tuto část uzavřeme následující otázkou: Jsme už spokojeni? Vlastně ne zcela. Je pravda, že už umíme řešit rovnice se sčítáním a násobením (s výjimkou nulového případu), máme také úplnost, ale matematik není nikdy zcela šťasten. Jedna věc, kterou jsme dosáhli přechodem od racionálních k reálným číslům, je to, že už můžeme vyřešit rovnice x ⋅ x = a pro všechna a kladná nebo nulové. Nemůžeme ale řešit takovéto rovnice pro záporná a. To nás přivádí k poslední části.

Komplexní čísla dostaneme tak, že k reálným číslům přidáme všechny druhé odmocniny záporných čísel (neexistují jako reálné objekty, ale můžeme je brát jako jakési abstraktní věci a pojmenovat je). Protože chceme množinu uzavřenou vzhledem k násobení a sčítání, musíme nejprve definovat, jak sčítat a násobit tyto imaginární objekty a jak interagují s reálnými čísly, a pak také přidat všechny možné věci, které z takovýchto operací dostaneme. Ukáže se, že stačí přidat všechny prvky typu "reálné číslo plus druhá odmocnina záporného čísla" a už dostaneme množinu uzavřenou vzhledem k těmto operacím. Dokonce se ukáže, že stačí přidat hypotetickou druhou odmocninu z −1 a všechny její lineární kombinace s reálnými čísly a dostaneme stejnou množinu.

Říká se tomu komplexní čísla, značí se ℂ a tady se jimi zabývat nebudeme, protože Math Tutor je o reálných funkcích a příbuzných věcech. Jen konstatujme, že všechny algebraické vlastnosti, které jsme měli pro reálná čísla, stále platí i pro komplexní čísla (je to těleso) a teď už umíme řešit všechny rovnice typu x ⋅ x = a pro libovolné komplexní číslo a. Musí se za to ale zaplatit, komplexní čísla nejde rozumně uspořádat, takže u nich nemáme žádnou nerovnost.

Zpět na Extra - Množiny a zobrazení