Zde připomeneme důležité číselné množiny: přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla, reálná čísla a nakonec se krátce podíváme na komplexní čísla. Podíváme se na některé vlastnosti těchto množin, a to do větší hloubky, než by bylo pro Math Tutor nutné, ale pro trpělivého čtenáře to může být zajímavý pohled na vývoj číselných množin a na abstraktní uvažování skryté za věcmi, které používáme každý den.
Přirozená čísla jsou 1, 2, 3, 4, 5 a tak dále. Množina všech přirozených čísel se značí ℕ. První "nožička" písmene je zdvojená (nebo jinak zdůrazněná), matematici takto naznačují, že to není jen množina, ale komplikovanější struktura, jmenovitě také máme na této množině nějaké operace a můžeme ji uspořádat.
Sčítání.
Jak všichni víme, přirozená čísla lze sčítat. Tato operace splňuje některé
užitečné vlastnosti. První věcí, kterou je třeba při zavádění operace na
množině zkontrolovat, je zda je tato množina uzavřená vzhledem k této
operaci, což zde znamená, že když vezmeme dvě přirozená čísla a sečteme je,
tak zase dostaneme přirozené číslo (nemůžeme se pomocí operace dostat
"ven" z množiny). To je zde samozřejmě pravda. Máme také tyto
vlastnosti:
V algebře bychom řekli, že struktura
Násobení.
Zase víme, že množina přirozených čísel je uzavřená vzhledem k násobení. To
má o jednu vlastnost více než sčítání.
V algebře bychom řekli, že struktura
Tyto dvě operace pěkně spolupracují, jmenovitě splňují
Uspořádání.
Množinu přirozených čísel lze přirozeně uspořádat dvěma binárními relacemi.
Relace "<" splňuje tyto vlastnosti:
Tato relace dobře spolupracuje se sčítáním a násobením:
Druhou relací je relace "≤". Ta splňuje následující vlastnosti:
První tři vlastnosti znamenají, že tato relace je částečné uspořádání, když
přidáme čtvrtou, tak dostaneme, že
I toto uspořádání si dobře rozumí se sčítáním a násobením.
Problémy:
Přirozená čísla jsou nádherná struktura, ale něco přeci jen chybí, a když
se to snažíme napravit, dostaneme jiné číselné množiny. Jaké problémy to
jsou?
1. Sčínání nemá identitu.
To se napraví snadno, uvažujeme množinu
Je to takto pohodlnější. Jsou situace, kdy chcete množinu
Druhý důvod je možná trochu sporný, ale pro mne ještě pádnější než ten první. Čísla 1,2,3,... jsou opravdu přirozená, jakmile začnete přemýšlet nad světem kolem sebe, dřív či později na ně přijdete. Na druhou stranu nula je mnohem pokročilejší pojem, začala být používána okolo roku 850 v Indii a ještě v 17. století proti ní byl v Evropě odpor.
2. Nemožnost řešit rovnice.
Jsou-li dány dvě přirozená čísla a a b a rovnice
Stejný problém máme s násobením, například dokážeme vyřešit
K pojmu celých čísel dojdeme, když zkusíme spravit ten problém s řešením
rovnic pro sčítání. Platí, že abychom uměli řešit všechny rovnice, stačí
umět vyřešit rovnice
Zkusíme tedy přidat tyto prvky k přirozeným číslům (a k 0), definujeme celá
čísla jako
Množina celých čísel je uzavřená vzhledem ke sčítání a sčítání teď splňuje tyto vlastnosti:
V algebře bychom řekli, že
V praxi mluvíme o operaci zvané "odčítání", ale z algebraického úhlu pohledu
taková věc neexistuje, protože když píšeme
Násobení stále má tytéž vlastnosti jako dřív, ale s jednou výjimkou, zákon
krácení už nefunguje. Můžeme krátit, ale pouze pokud x není nula. Tato
vlastnost však není až tak důležitá a neztratili jsme ji úplně, takže je to
malá cena, kterou rádi zaplatíme. Sčítání a násobení jsou stále svázány
distributivním zákonem. Když vezmeme v potaz všechny vlastnosti, v algebře
bychom řekli, že
Přidání prvků navíc nezkazilo hlavní vlastnosti oněch dvou uspořádání, "<" stále splňuje zákony tranzitivity a trichotomie, "≤" je zase lineární uspořádání. Teď ale máme trochu problém s relacemi a operacemi. Se sčítáním pořád fungují dobře, ale u násobení musíme být opatrnější.
Nechť x je celé číslo. Řekneme, že je kladné, jestliže
Tak jsme vyřešili problém s řešením rovnic pro sčítání, ale ne pro násobení.
To bude další krok. Než se do toho dáme, uvedeme další obecné značení, které
se občas používá. Jestliže je X množina čísel, pak
X + značí množinu všech prvků z X, které jsou
kladné, a X - značí množinu všech prvků z X,
které jsou záporné. Například
K racionálním číslům dojdeme, když se snažíme řešit rovnici
Takže množinu racionálních čísel definujeme tak, že začneme s celými čísly,
pak přidáme abstraktní prvky zvané
Množina racionálních čísel je uzavřená vzhledem ke sčítání a sčítání je pořád komutativní, asociativní, má identitu a inverzní prvky.
Množina racionálních čísel je uzavřená vzhledem k násobení a násobení splňuje tyto vlastnosti.
Zase nám platí distributivní zákon. V algebře bychom řekli, že
Také uspořádání, které jsme měli předtím, je možné rozšířit na porovnávání zlomků, aniž bychom ztratili jejich vlastnosti, včetně rozdělení na kladná a záporná čísla. Značení zůstává stejné, například ℚ+0 je množina všech kladných racionálních čísel a přidaná nula.
V zásadě jsme vyřešili všechny výše vypsané problémy, jak jen to šlo.
Znamená to, že jsou racionální čísla dokonalá? Odpověď zní, že skoro, ale
přeci jen ne. Jsou ohromná a dobře fungují ve většině praktických situací,
ale mají jeden problém. Rovnici
Předchozí část jsme zakončili tvrzením, které rozhodně není jasné na první pohled, ale je to tak. Již staří Řekové dokázali, že když nakreslíme pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o délce 1, pak se délka přepony nedá vyjádřit racionálním číslem. To může být špatné nebo ne až tak hrozné, podle toho, jak se na to díváte. Pokud jste inženýr, pak stejně nikdy nepracujete s přesnými délkami, a jakmile pracujete s určitou tolerancí, pak vždy můžete vyjádřit délku oné odvěsny "skoro přesně" racionálním číslem, nemusí vás to tedy trápit. Na druhou stranu ten problém ukazuje, že racionální čísla mají závažný nedostatek jako nástroj k přesnému teoretickému popisu přírody, což je docela špatné například pro matiku či fyziku.
Tento nedostatek se objevuje v mnoha podobách. Například posloupnosti, které konvergují, mají jistou vlastnost zvanou Cauchyho vlastnost, což v zásadě znamená, že se směrem ke "konci" posloupnosti už její členy moc nemění. Bylo by pěkné, kdyby každá posloupnost s touto vlastností konvergovala (takový prostor se pak nazývá úplný), ale ve světě racionálních čísel toto neplatí. Pokud například aproximujeme délku oné přepony racionálními čísly s lepší a lepší přesností, pak dostaneme nekonečnou posloupnost racionálních čísel, která jsou blíž a blíže k určitému místu, ale to číslo (přesná délka přepony) není k dispozici, tudíž tato posloupnost nekonverguje. Množina racionálních čísel proto není úplná.
Znamená to také problémy pro uspořádání. Pokud vezmeme množinu, která je omezená zdola, tak bychom rádi měli infimum, což je trochu jako nejmenší prvek množiny (viz sekce Funkce - Teorie - Topologie reálných čísel). Uvažujme nicméně množinu M všech racionálních čísel, která jsou větší než délka oné přepony. Ono "nejmenší" číslo by u této množiny měla být ta délka, ale v množině racionálních čísel není k dispozici. To je velký problém.
Z mnoha úhlů pohledu tak racionální čísla mají "díry". Přirozený nápad by byl je "zaplnit" tak, že přidáme (k množině racionálních čísel) všechny délky, které chybějí. To se dá udělat, takové délky se jmenují "iracionální čísla" a po opatrném dodefinování, jak s takovými čísly pracují sčítání a násobení, dostaneme množinu reálných čísel. Formálně a přesně to není až tak jednoduché, lidé většinou definují reálná čísla jako potencionální limity posloupností tvořených racionálními čísly, které mají Cauchyho vlastnost (tj. reálná čísla jsou všechny délky, které lze dobře aproximovat racionálními čísly).
Každopádně teď máme racionální čísla a jejich strukturu, označíme tuto množinu ℝ. Co o ní můžeme říct?
Za prvé, nezkazili jsme žádnou z pěkných vlastností, které jsme měli pro
racionální čísla. Množina reálných čísel je tedy uzavřená vzhledem ke
sčítání; sčítání je na ní komutativní a asociativní, má identitu a inverzní
prvky ke všem prvkům. Podobně je množina reálných čísel uzavřená vzhledem k
násobení; násobení je na ní komutativní a asociativní, má identitu a inverzní
prvky ke všem nenulovým prvkům. Distributivní zákon stále platí, takže
Na reálná (a také racionální) čísla se podíváme blíže v sekci
Funkce - Teorie -
Topologie reálných čísel. Zde tuto část
uzavřeme následující otázkou: Jsme už spokojeni? Vlastně ne zcela. Je pravda,
že už umíme řešit rovnice se sčítáním a násobením (s výjimkou nulového
případu), máme také úplnost, ale matematik není nikdy zcela šťasten. Jedna
věc, kterou jsme dosáhli přechodem od racionálních k reálným číslům, je to,
že už můžeme vyřešit rovnice
Komplexní čísla dostaneme tak, že k reálným číslům přidáme všechny druhé odmocniny záporných čísel (neexistují jako reálné objekty, ale můžeme je brát jako jakési abstraktní věci a pojmenovat je). Protože chceme množinu uzavřenou vzhledem k násobení a sčítání, musíme nejprve definovat, jak sčítat a násobit tyto imaginární objekty a jak interagují s reálnými čísly, a pak také přidat všechny možné věci, které z takovýchto operací dostaneme. Ukáže se, že stačí přidat všechny prvky typu "reálné číslo plus druhá odmocnina záporného čísla" a už dostaneme množinu uzavřenou vzhledem k těmto operacím. Dokonce se ukáže, že stačí přidat hypotetickou druhou odmocninu z −1 a všechny její lineární kombinace s reálnými čísly a dostaneme stejnou množinu.
Říká se tomu komplexní čísla, značí se
ℂ a tady se jimi zabývat
nebudeme, protože Math Tutor je o reálných funkcích a příbuzných věcech. Jen
konstatujme, že všechny algebraické vlastnosti, které jsme měli pro reálná
čísla, stále platí i pro komplexní čísla (je to těleso) a teď už umíme řešit
všechny rovnice typu