B0B01DRN - Závěrečná zkouška
Závěrečná zkouška se skládá ze dvou částí, písemky a nepovinné ústní zkoušky.
Písemka: Bude se skládat ze čtyř příkladů, na které budete mít 90 minut. Podoba viz dokument Typická zkoušková písemka.
Přineste si s sebou čisté papíry a jeden dvojlist A4, ve kterém písemku odevzdáte. Na ten dvojlist si už doma můžete připravit hlavičku: Čitelně napsané jméno a tabulku na body:
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| Σ |
Na přežití písemky je třeba získat alespoň polovinu bodů (40 z 80). Na přežití zkoušky je třeba mít (po přičtení bodů ze semestru) alespoň 50. Pak je možné vylepšit známku o jeden stupeň u ústní zkoušky.
Ústní zkouška: Důkazy klíčových vět a faktů z přednášek (viz níže).
DRN - Přehled látky ke zkoušce
Následuje přehled látky, jejíž zvládnutí se očekává ke zkoušce. Ke každému tématu udáváme okruhy, které by měl student zvládnout prakticky, a věci, o kterých by měl umět popovídat.
ODR - analytický pohled
Praktické schopnosti:
Základ pro písemku. Body označené dvoutečkou jsou klíčové. Student jdoucí na zkoušku by měl umět:
•• najít obecné řešení ODR 1. řádu separací
•• najít obecné řešení lineární ODR 1. řádu variací konstanty
•• najít obecné řešení lineární ODR řádu n (homogenní pomocí charakteristických čísel, pravou stranu odhadem)
•• u zadané rovnice umět posoudit, která z výše uvedených metod je vhodná
•• z obecného řešení určit nějaké partikulární podle daných počátečních podmínek
• umět odhadnout asymptotické chování řešení v nekonečnu
• vybírat řešení žádaného typu pomocí volby počátečních podmínek
•• načrtnout vektorové pole pro rovnice typu y' = f (x, y); pro rovnice typu y' = f ( y) najít ekvilibria (a.k.a. body rovnováhy, viz také stacionární řešení) a určit jejich stabilitu
•• najít obecné řešení homogenní soustavy ODR 1. řádu pomocí vlastních čísel (jen reálná vlastní čísla násobnosti jedna)
• určit stabilitu triviálního stacionárního řešení
• převést rovnici vyššího řádu na soustavu
Porozumění pojmům:
Je potřeba vědět, oč jde, umět to vyjádřit a vysvětlit. Pokud je poznámka [důkaz], pak se na důkaz dotyčného tvrzení mohu zeptat u ústní zkoušky.
• co jsou to lineární diferenciální rovnice
• věta o struktuře množiny všech řešení pro homogenní lineární rovnice/soustavy [důkaz]
• co je to fundamentální systém lineární diferenciální rovnice
• tvrzení o tom, že charakteristická čísla vedou na řešení homogenní lineární rovnice [důkaz]
• tvrzení o tom, že vlastní čísla a vektory matice dávají řešení odpovídající homogenní soustavy [důkaz]
• věta o struktuře množiny všech řešení pro lineární rovnice/soustavy (je více možností formulace) [důkaz]
• jak si poradíme s komplexními vlastními čísly u řešení soustav diferenciálních rovnic
Numerická matematika
Praktické schopnosti:
Může být v písemce, teoretičtější věci i u ústního. Body označené dvoutečkou jsou klíčové.
•• integrály: na daný integrál aplikovat (ručně) metodu obdélníkovou či lichoběžníkovou pro daný krok či počet dělení
•• rovnice: převést danou rovnici na tvar pro hledání kořene nebo na tvar pro hledání pevného bodu, předvést fungování základních algoritmů (bisekce, Newton, pevný bod) pro konkrétní zadání (udělat ručně několik iterací)
•• ODR: pro danou ODR 1. řádu s počáteční podmínkou použít Eulerovu metodu k odhadu řešení (udělat ručně několik iterací)
•• soustavy: na dané soustavě lineárních algebraických rovnic ilustrovat eliminační metodu, tedy GEM a zpětnou substituci, popřípadě předvést Gauss-Seidelovu metodu (vytvořit iterační rovnice, udělat ručně několik iterací)
•• umět prakticky pracovat s řádem metody (odhad chyby, volba správného kroku)
• pro rovnici převedenou určitým způsobem na situaci pevného bodu umět odhadnout, zda metoda iterace bude konvergovat
• aplikovat relaxaci pro iteraci pevného bodu, najít optimální hodnotu relaxačního parametru
• poznat u iteračních algoritmů, zda nalezené číslo je opravdu dostatečně blízko (zadaná tolerance) k hledanému
• pomocí Taylorova rozvoje odvodit pro danou funkci a střed přibližný vzorec zadané přesnosti
Porozumění pojmům, teoretičtější otázky:
Je potřeba vědět, oč jde, umět to vyjádřit a vysvětlit. Může se hodit v písemce i u ústního.
•• integrace: znát princip hlavních metod numerické integrace (obdélníková, lichoběžníková), umět vysvětlit obrázkem a najít na něm chybu metody, umět odvodit vzorec pro obě metody a znát jejich řád
•• kořeny: znát podstatu základních algoritmů pro hledání kořene (bisekce, tečny/Newton, iterace pro pevný bod), umět napsat algoritmus, vysvětlit obrázkem (bisekce, Newton) a odvodit vzorec (Newton), znát výhody a nevýhody; znát řád bisekce a Newtona
•• kořeny: znát ukončovací podmínky pro iterační algoritmy, problém s dodržením žádané tolerance, jednoduchý test garantující přítomnost kořene
•• ODR 1. řádu: základní princip pro numerické řešení ODR (dělení intervalu, postup po krocích tečnami), princip Eulerovy metody, umět ilustrovat obrázkem, znát její lokální a globální chybu a řád
• ODR 1. řádu (pro pokročilé): jak zhruba fungují metody vyššího řádu Runge-Kutta
•• soustavy: GEM: princip, výpočetní náročnost, co je pivotování a proč se dělá, jak se pak najde řešení zpětnou substitucí (náročnost); GSM: pevný bod pro soustavy, výpočetní náročnost, konvergence
• znát princip odhadování derivace, umět vysvětlit obrázkem základní tři metody, jakou mají chybu aproximace; pomocí Taylorova rozvoje určit chybu pro dopřednou diferenci coby aproximaci derivace
• obecně: u všech oblastí řešených přibližně (numerické derivování, numerické integrování, iterační hledání kořenů, řešení počáteční úlohy pro ODR) je třeba vědět, jak se hodnotí kvalita metod: princip řádu metody (u integrace stačí Chq či C/nq,), definice pojmů, umět použít k predikci jak zareagují při změně vstupního parametru
•• absolutní a relativní chyba, šíření, (relativně) bezpečné a nebezpečné operace; umět odvodit odhad absolutní a relativní chyby pro jednodušší operace (sčítání, násobek, pro pokročilé i víc)
• jaké chyby se vyskytují a zkoumají u numerických metod; chyby v reálném výpočtu, kde se berou, jak se chovají, problémy počítání ve floating point (zaokrouhlování, někdy nutnost srovnávat exponenty, není přesná nula), co je numerická stabilita
Co se týče znění definic a vět, není třeba je citovat doslovně, lze je říct po svém. Podstatné je, že alternativní vyjádření musí vystihnout správný význam, tedy logický obsah musí zůstat zachován.