B0B01MA1

B0B01MA1: Matematická analýza 1, zimní semestr
A8B01MC1: Matematika – kalkulus 1 (otevřené elektronické systémy)

Základní informace v Moodle.

Harmonogram

Výjimky:

Přednášky

22.  9. Informace k předmětu. Reálná čísla: přirozená, celá, racionální, iracionální čísla; reálná osa; intervaly; nevlastní čísla ±∞, operace s nimi, použití pro zápis intervalů; horní a dolní mez, maximum a minimum, supremum a infimum, jejich existence.

23.  9. Princip vnořených intervalů. Funkce: definice, definiční obor, obor hodnot, graf; prostá a na; uspořádání, součet, rozdíl, součin, podíl a složení; inverzní funkce, existence právě pro prosté; omezenost a monotonie funkcí, inverzní funkce k ryze monotonní funkci; sudé, liché a periodické funkce, perioda, základní perioda; lineární transformace a graf; bijekce a mohutnost množin, množina racionálních čísel je spočetná, reálných nespočetná.

29.  9. Elementární funkce. Limity: okolí a prstencové okolí, definice, jednostranné limity a vazba na oboustranné.

30.  9. Limity: jednoznačnost, monotonie, omezenost funkce s vlastní limitou, neměnění znaménka v prstencovém okolí nenulové limity; nulová limita právě tehdy, když nulová limita absolutní hodnoty; limity monotonních funkcí v krajních bodech intervalu jako supremum a infimum funkčních hodnot, důsledky pro limity elemetárních funkcí; limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí; limity typu 1/0±; věta o sevření, limita (sin x)/x v 0, limity typu 0 · omez.

 6. 10. Limity: typu ±∞ + omez., nexistence limit součtu a součinu; limita složené funkce. Spojitost: definice, souvislost s limitou; spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce; lokální omezenost spojité funkce; spojitost elementárních funkcí, vlastnosti spojitých funkcí na intervalu (vlastnost mezihodnoty, inverzní ke spojité je spojitá, na uzavřeném nabývá minima a maxima).

 7. 10. Derivace: definice, jednostranné derivace, derivace základních funkcí (x^a, e^x, sin x, cos x), souvislost derivace a spojitosti, věta o derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, složené funkce, inverzní funkce (ln x, arctg x).

13. 10. Aplikace derivací: Rolleova a Lagrangeova věta, l'Hospitalovo pravidlo.

14. 10. Aplikace derivací: Tečna a normála grafu funkce. Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom, odhad chyby, použití.

20. 10. Průběh funkce: derivace a monotonie funkcí, nutné a postačující podmínky pro lokální extrémy, hledání extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu. Konvexita a konkavita, vazba na 2. derivaci, inflexe, inflexní body.

21. 10. Průběh funkce: asymptoty, celkový přehled, příklady.

27. 10. Posloupnosti: definice, vztah limity funkce a limit posloupností, vybraná posloupnost, hromadné hodnoty a jejich vlastnosti (existence, limity vybrané posloupnosti, uzavřenost na suprema a infima, limes superior, limes inferior). Spojité funkce na intervalu: důkazy nabývání extrémů a mezihodnot.

 3. 11. Neurčitý integrál: primitivní funkce, vlastnost mezihodnoty derivace, spojité funce mají primitivní, množina primitivních funkcí na intervalu, neurčitý integrál, tabulkové integrály, linearita, metoda per partes.

 4. 11. Neurčitý integrál: substituce. Racionální funkce: rozklad na součet polynomu a parciálních zlomků.

10. 11. Racionální funkce: určení koeficientů parciálních zlomků, zakrývací pravidlo, integrování.

11. 11. Neurčitý integrál: integrace některých typů funkcí (racionální funkce v exponenciále, logaritmu, sinech a kosinech, odmocninách lineární lomené funkce; odmocniny kvadratických funkcí).

18. 11. Určitý integrál: Riemannův integrál, existence na uzavřeném intervalu pro monotónní a pro spojité funkce.

24. 11. Určitý integrál: linearita, monotonie, odhad integrálem z absolutní hodnoty, aditivita na definičním oboru, derivace určitého integrálu podle horní meze.

25. 11. Určitý integrál: Newtonova–Lebnizova formule, porovnání různých typů integrálů. Nevlastní integrál: definice, existence a konvergence.

 1. 12. Nevlastní integrál: věty o konvergenci, konvergence integrálu mocnin a integrálu racionální funkce, příklady (Laplaceova transformace, funkce gama). Aplikace určitého integrálu: střední hodnota, věta o střední hodnotě.

 2. 12. Aplikace určitého integrálu: obsah obrazce vymezeného grafy funkcí, délka křivky, objem rotačního tělesa, obsah pláště rotačního tělesa, těžiště.

 8. 12. Číselné řady: součet, konvergence, geometrická řada a její součet; věty o součtu řad a o násobku řady; nutná podmínka konvergence, srovnávací kritérium; absolutní konvergence, absolutně konvergentní řada konverguje.

 9. 12. Číselné řady: podílové, odmocninové, integrální a Leibnizovo kritérium konvergence, vlastnosti absolutně konvergentních řad.

15. 12. Numerická integrace: obecná Gaussova a Newtonova–Cotesova metoda, její řád, přesná integrace polynomů; složené metody: obdélníková a lichoběžníková metoda (odhady chyb).

16. 12. Numerická integrace: Simpsonova metoda (odhad chyby), Richardsonova extrapolace, využití pro odhad chyby, Rombergova metoda. Informace ke zkoušce.

 5.  1. Zavedení reálných čísel pomocí řezů, asymptotické chování funkcí.

 6.  1. Příklady na vyšetřování konvergence řad, konzultace.

---

Josef Tkadlec, tkadlec(at)fel.cvut.cz

Poslední úprava: 6. prosince 2020.