Zde se podíváme na omezenost a monotonii, dvě základní vlastnosti posloupností. Uvedeme příslušné definice, vysvětlíme je a ukážeme několik příkladů. Další jednoduché příklady jsou v následující sekci Důležité příklady, dva řešené příklady jsou v části Řešené příklady.
Posloupnost je omezená, jestliže můžeme omezit velikost všech jejích členů.
Definice.
Řekneme, že posloupnost{an} je omezená zdola, jestliže existuje číslo k (dolní mez) takové, že pro všechna n mámean ≥ k.
Řekneme, že posloupnost{an} je omezená shora, jestliže existuje číslo K (horní mez) takové, že pro všechna n mámean ≤ K.
Řekneme, že posloupnost{an} je omezená, jestliže je omezená shora i zdola.
Posloupnost
Je důležité poznamenat, že slova "pro všechna n" znamenají "pro
všechna n použitá k indexaci posloupnosti"; typicky to znamená pro
všechna čísla
Když se podíváme na graf posloupnosti, tak omezenost zdola znamená, že je
možné nakreslit vodorovnou čáru tak, aby všechny body reprezentující členy
posloupnosti byly nad touto čárou. Podobně omezenost shora je splněna, pokud
všechny body dané posloupnosti zůstanou pod určitou vodorovnou přímkou;
omezenost pak znamená, že členy posloupnosti je možné uzavřít mezi dvě
vodorovné přímky.
Na následujícím obrázku je levá posloupnost omezená shora, ale není omezená
zdola a tudíž ani omezená. V daném obrázku vlastně je možné nakreslit
vodorovnou čáru pod všemi body, ale máme na paměti, že obrázek ukazuje pouze
začátek posloupnosti, která pokračuje doprava do nekonečna naznačeným
způsobem; protože každý další člen se zdá poklesnout o konstantní hodnotu
dolů, vypadá to, že ať už nakreslíme vodorovnou čáru kdekoliv, posloupnost
dříve či později klesne pod ni.
Posloupnost vpravo je omezená, omezená shora i zdola.
Příklad: Uvažujme posloupnost
Podíváme se na několik prvních členů; posloupnost začíná
Z obrázku by se zdálo, že
V posledním řádku je levá nerovnost pravdivá pro všechna
Poznámka:
Je zřejmé, že jakmile dostaneme nějakou horní či dolní mez, najdeme i mnoho
dalších. V našem příkladě jsme použili
Když nějakou posloupnost podezříváme, že je omezená, lze při důkazu často
ušetřit čas tím, že raději zkoumáme její absolutní hodnotu. Například v našem
posledním příkladě jsme mohli zkusit dokázat, že
Narazili jsme tím vlastně na obecné tvrzení.
Fakt.
Posloupnost{an} je omezená právě tehdy, existuje-li číslo h splňující|an| ≤ h pro všechna n.
Důkaz: Pokud posloupnost splňuje tuto podmínku, pak zjevně
Na druhou stranu, pokud máme omezenou posloupnost, pak máme také nějakou
horní a dolní mez z definice omezenosti, neboli jsou zde k a K
splňující
Všimněte si, že omezenost se vlastně rozhoduje na "konci" posloupnosti.
Konečná množina čísel má vždy své maximum a minimum, takže omezenost je
možné zkazit pouze tím, že uvažujeme nekonečně mnoho čísel. Řečeno jinak,
pokud z posloupnosti vyhodíme konečně mnoho členů (například její začátek,
její omezenost se nezmění. Proto když zkoumáme omezenost, tak nás vlastně
příliš nezajímá, kde jsme začali indexování; pokud to pomůže, klidně můžeme
ignorovat několik prvních členů a brát v úvahu jen
Následující dvě tvrzení by vám měla přijít přirozená: Pokud je posloupnost omezená, pak jsou všechny její podposloupnosti omezené. Pokud má posloupnost neomezenou podposloupnost, pak je sama neomezená.
Zde zadefinujeme, co to znamená, je-li posloupnost monotonní. Je to obecný pojem zahrnující pojmy rostoucí a klesající.
Definice.
Řekneme, že posloupnost{an} je rostoucí, jestliže pro všechna n platían < an+1.
Řekneme, že posloupnost{an} je neklesající, jestliže pro všechna n platían ≤ an+1.
Řekneme, že posloupnost{an} je klesající, jestliže pro všechna n platían > an+1.
Řekneme, že posloupnost{an} je nerostoucí, jestliže pro všechna n platían ≥ an+1.
Řekneme, že posloupnost{an} je monotonní, jestliže splňuje některou z těchto čtyř podmínek.
Abychom pochopili tyto definice, je třeba si uvědomit následující. Je-li dáno
n, pak an reprezentuje určitý člen dané
posloupnosti a
U rostoucí posloupnosti tedy musí být každý člen větší než ten předchozí; u
neklesající posloupnosti se vyžaduje, aby také rostla, ale je jí také
povoleno, aby někdy (nebo třeba pořád) zústala stejná - jediné, co nesmí, je
někde klesnout. Význam definic by měl být jasný, když se podíváte na
následující čtyři typické příklady. Jsou ve stejném pořadí, v jakém byly v
definici.
Mezi těmito pojmy existují určité vztahy. Rostoucí posloupnost je automaticky neklesající a klesající posloupnost je automaticky nerostoucí. Existují dokonce posloupnosti, které jsou zároveň neklesající a nerostoucí - jmenovitě konstantní posloupnosti. Na druhou stranu, rostoucí posloupnost nemůže být klesající a naopak.
Příklad:
Uvažujme posloupnost z předchozího příkladu
Co je možné říct o monotonii této posloupnosti?
Protože druhý člen je menší než první,
Všimněte si, že když ignorujeme první dva členy a uvažujeme posloupnost
Poslední nerovnost platí pro všechna
Všimněte si, jak jsme dosazovali za
Viděli jsme, že na rozdíl od omezenosti se monotonie dá změnit tím, že z posloupnosti odebereme či do ní přidáme členy.
V jednom směru máme nicméně něco positivního: Pokud je posloupnost monotonní, pak jsou všechny její podposloupnosti monotonní. Když si nakreslíte pár obrázků, mělo by vám být jasné, že toto opravdu platí. Všimněte si, že je dokonce zachován i "směr", podposloupnost posloupnosti, která jde "nahoru", půjde také "nahoru". Občas se ale může změnit konkrétní typ.
Příklad: Uvažujme posloupnost definovanou pro
Co to znamená? Pokud je n sudé, pak
Pokud začneme s posloupností, která není monotonní, a vybereme z ní
podposloupnost, pak situace může zůstat stejná, nebo se může zlepšit. Pokud
například vybereme každý druhý člen z alternující posloupnosti
Monotonie někdy pomůže při zkoumání konvergence, viz Základní vlastnosti v části Teorie - Limita.
Důležitá poznámka.
Bohužel, terminologie, kterou jsme uvedli výše, není obecně uznávaná. Dává jí
přednost mnoho autorů, ale mnoho jich zase upřednostňuje terminologii
konkurenční. Namísto pojmů (v pořadí jako jsme je zavedli)
rostoucí, neklesající, klesající, nerostoucí
používají
striktně rostoucí, rostoucí, striktně klesající,
klesající.
Slovo monotonie používají stejně jako my, ale pro první a třetí pojem také
používají společného pojmu striktní monotonie.
Tento zmatek je nešťastný, ale naštěstí z něho není moc velký průšvih. Ve
větách se obvykle vyžaduje monotonie, v kterémžto pojmu se obě školy shodují.
Samozřejmě jako obvykle, učitel, ke kterému chodíte na přednášky, má vždycky
pravdu, takže se držte jeho terminologie. Zde se budeme držet té, kterou jsem
definoval, už proto, že se jí držel můj profesor, a tak ji posílám dál.
Musíme nicméně čtenáře varovat, že je okamžik, kdy se tyto školy střetávají:
ve větách, které dávají do souvislosti monotonii a derivaci. Když o tom
čtete, dobře se podívejte, jaká terminologie je použita.