Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje)

Řešení: Když zkusíme dosadit nekonečno, dostaneme nekonečno ve jmenovateli, což je dobrý začátek, ale v čitateli dostaneme neurčitý výraz ∞ − ∞ pod odmocninou, další nekonečno od ní odečítáme, takže opravdu nevíme, jaký typ výrazu tam máme.

Když se podíváme na daný zlomek (a ignorujeme tu třetí mocninu, je to "pěkná" vnější funkce a půjde případně vytáhnout z limity), měli bychom si všimnout, že je poskládaný z mocnin a odmocnin; jinými slovy, přesně se hodí do šuplíku "polynomy a podíly s mocninami". Mohly bychom získat odpověď intuitivně?

Začneme uvnitř odmocniny a všimneme si, že uvnitř čtvrtá mocnina převáží nad třetí mocninou. Pro velká n tedy můžeme ignorovat člen "−2n³", co pak dostaneme?

Bohužel jsme dostali dva stejné dominantní členy ve jmenovateli, které se odečítají, což znamená, že nám intuitivní přístup nedá odpověď, v takovém případě není dovoleno je zkrátit. Co když si je tam zkusíme nechat a vyřešit příklad vytýkáním, což je doporučená metoda pro směs mocnin? Bohužel, v případě odečítaných shodných dominantních členů to vede na ∞⋅0. Opravdu, pokud zkusíme vytknout dominantní člen (počínaje z odmocniny), dostaneme

Potřebujeme tedy dominantní členy vykrátit přesně (algebraicky), ne jen přibližně, a tvar posloupnosti napovídá správný šuplík, "rozdíl odmocnin".

Dostali jsme nový výraz typu "podíl s mocninami", ve kterém jsme už dokázali odečíst dominantní mocniny v čitateli. Pokud nemáme výjimečnou smůlu, teď už bychom měli být schopni použít intuitivní výpočty a dostat odpověď.

Fungovalo to, tipneme si, že odpověď je (−1)³ = −1 (neměli bychom zapomínat na tu třetí mocninu!). Jak to zapíšeme pořádně? Nejprve vytáhneme ven třetí mocninu, pak uděláme tu algebraickou úpravu (stačí zkopírovat výsledek, který jsme už dostali). Pak vytkneme dominantní mocniny (díky intuitivním výpočtům víme, že n³ je dominantní nahoře i dole, kde přichází ze dvou zdrojů) a nakonec dostaneme odpověď.

Je nějaká alternativa? Po vytáhnutí třetí mocniny z limity tam zbývá zlomek typu "něco dělené nekonečnem" (teď předstíráme, že nevíme, jak to s tím čitatelem výše dopadlo), což znamená, že můžeme použít obecnější tvar l'Hospitalova pravidla (viz šuplík "neurčitý podíl"). Všimněte si, jak je dobré, že máme tuto obecnější formu. Kdybychom chtěli použít obvyklého l'Hospitala (nekonečno dělené nekonečnem), museli bychom zkoumat čitatel a zkusit ukázat, že jde do nekonečna. Takže se podívejme na ten zlomek; víme, že k použití l'Hospitala musíme přejít na funkce:

Získali jsme výraz, který není nějak hezčí než ten, se kterým jsme začali. To je typický rys l'Hospitalova pravidla: není moc dobré na odstraňování odmocnin. Odmocnina by tam zůstala, i kdybychom zkoušeli l'Hospitala znovu a znovu. Je možné, že po řekněme pěti l'Hospitalech bychom nějakou odpověď dostali, ale evidentně je spíše čas zkusit něco jiného. Ještě že jsme neplýtvali časem analýzou toho čitatele.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita