Šuplík "polynomy, součty a podíly s mocninami"

Základní typ zde probírané posloupnosti je polynom - tj. lineární kombinace mocnin na - a linární kombinace podobných výrazů (exponenciály, obecné mocniny, faktoriály, logaritmy). Některé části takových loneárních konbinací také mohou být pod odmocninami. Typický příklad:

Jak najít limitu takových výrazů:

Krok 1. Identifikujeme dominantní člen daného výrazu, začne se zvlášť každou odmocninou: Určí se dominantní člen výrazu pod odmocninou a pak se na něj aplikuje příslušná odmocnina; tím se určí typ mocniny jako takové. Pak se porovnají typy mocnin s ostatními typy v součtu a najde dominantní člen. Pro určení dominance použijeme škálu mocnin:

Každý typ převáží nad typy vypsanými pod ním:
(1)   mocnina nn,
(2)   factoriál n!,
(3)   exponenciála qn, q > 1,
(4)   mocnina na, a > 0,
(5)   logaritmus ln(n)a, a > 0.
V rámci každé kategorie, výrazy s větším q, popř. a převáží nad těmi s menším parametrem.

V praxi se většinou dává přednost lidovějšímu vyjádření této hierarchie frázemi jako "mocniny přebijí logaritmy" a "exponenciály přebijí mocniny" atd. Pro detaily viz Intuitivní výpočet v části Teorie - Limita, obzvláště tato poznámka.

Krok 2. Pokud existuje jediný dominantní člen, vytkneme jej a pak najdeme limitu výsledného výrazu. Pokud je tam více dominantních členů, mohou být dány dohromady pouze v případě, že tím nezanikne tento dominantní typ. Vytknutí stále funguje.

Pokud je více dominantních členů a sloučení by způsobilo, že tento dominantní typ zcela vymizí, musí být posloupnost řešena jinak. Obvykle je dobré zkusit pokrátit dominantní členy algebraicky. Nejčastější způsob, proč by to nemělo jít, je, že některé členy jsou zamíchány v odmocninách. V takovém případě zkusíme šuplík "rozdíl odmocnin".

Někdy je třeba algebraického zjednodušení k správnému určení typů.

Příklad:
Uvažujme výše uvedenou posloupnost. Nejprve se podíváme na odmocninu. Jsou pod ní dvě mocniny typu na (ta druhá je triviální, 1 = n0), a z mocnin téhož typu vyhraje ta vyšší (tj. n2). Můžeme tedy ignorovat část "+1" a odmocnina je typu "odmocnina z n2", takže vlastně celý odmocninový člen je typu n.

Teď se podíváme na celou posloupnost. Jsou tam tři členy, druhá mocnina, odmocnina která je vlastně typu n a logaritmus. Mocniny přebijí logaritmy, takže pro velká n je možné logaritmus ignorovat, a z mocnin ta vyšší vyhraje. Právě jsme odvodili, že n2 je dominantní člen. Celé odvození je možné zapsat takto:

Právě jsme dospěli k závěru, že když n roste k nekonečnu, daný výraz se chová jako 2n2, tudíž by měl konvergovat do nekonečna. Teď uděláme korektní výpočet vytknutím:

Jak jsme přišli na to, že ty dva zlomky napravo jdou k nule? První algerbaickým zjednodušením, druhý l'Hospitalovým pravidlem, viz zde. Poznamenejme, že obvykle je jednodušší nejprve vytknout z odmocniny a propracovat se ven nez vytýkat přímo ven z celého výrazu najednou.

Podíly

Často se vyskytují zlomky, jejichž čitatel a jmenovatel je výše uvedeného typu. Pak je postup následující:

Krok 1. Najdeme dominantní členy čitatele a jmenovatele jak vysvětleno výše.

Krok 2. Vytkneme dominantní členy, pokud možno zkrátíme a pak najdeme limitu jejich podílu.

Někdy je jednodušší použít alternativu:

Krok 2'. Když jsou dominantny čitatele a jmenovatele stejné, zkrátíme čitatel a jmenovatel dominantou. Lidé často používají krácení i v jiných situacích, často se cituje pravidlo "vykrať menší dominantu", to má ale "malou" vadu: často nefunguje. Pokud se chcete dozvědět víc o krácení ve zlomcích, mrkněte na tuto poznámečku.

Příklad: Vypočítejte (pokud existuje)

Druhý člen ve jmenovateli není ve správném tvaru, takže nejprve zjednodušíme:

Teď jsme připraveni se na to podívat: V čitateli je dominantou exponenciála 4n, stejný člen je dominantní ve jmenovateli. Pokud bychom použili vytknutí, dostali bychom

Limity zlomečků na konci se najdou snadno l'Hospitalovým pravidlem.

Krácení je trochu rychlejší:

Napsané to vypadá skoro stejně, rozdíl je v tom, jak o tom přemýšlíme, když to píšeme. Je to otázka osobní preference a psychologie, někteří lidé raději myslí na vytýkání společného faktoru, což často znamená, že je třeba jím vydělit nějaký člen, jiným přijde jednodušší to vidět jako "vyděl všechno, co vidíš, tímto členem".

Součiny

Když se výrazy výše probraného typu násobí, dá se určit dominanta (typ) každého z nich, typ celého výrazu se pak dostane vynásobením jedntlivých dominant. Pokud zde ale nezasáhne štěstí, tak je pravděpodobné, že výsledný typ nebude členem škály mocnin, ale kombinace více takových typú. Konečný výsledek tak nepůjde určit přímo pomocí zde popsaných pravidel, hodně záleží na intuici a zkušenosti.

V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě, tomto příkladě a tomto příkladě. Komplikovanější příklad je tento.


Další šuplík: rozdíl odmocnin
Zpět na Přehled metod - Limita