Zde se podíváme na to, jak uhádnout limitu posloupnosti. Tento postup se dá aplikovat na mnoho posloupností a používá několik ingrediencí. Předně je nutno si pamatovat základní limity a algebru limit. Druhou součástí je dobré pochopení vzájemného působení mocnin a exponenciál (a odmocnin). Začneme stručným úvodem.
U mnoha posloupností najdeme součet mocnin a podobných výrazů. Uvažujme
například posloupnost
Teď ovšem přijde problém: Jaká je limita posloupnosti
Mimochodem, když sčítáme a odčítáme objekty, či dokonce je násobíme reálnými čísly, jak jsme to dělali v prvním příkladě, říkáme tomu "lineární kombinace". Výraz v prvním příkladě je tedy "lineární kombinace mocnin". Tuto terminologii budeme používat v celé této sekci. Nejprve přesně identifikujeme, jakým typem problému se budeme zabývat.
Všimněte si, že záporné mocniny nezpůsobují v příkladech jako ten výše
problémy, viděli jsme, že n−2 konvergovalo k nule a proto
nám nevadilo, když jsme jej v rámci algebry limit přičítali k jiným výrazům.
Proto v této sekci budeme uvažovat pouze kladné mocniny. Když se stane, že
jsou mocniny přímo přirozená čísla, tak vlastně máme polynomy. Zde ale budeme
pracovat mnohem obecněji a povolíme také kladné exponenty, které nejsou celá
čísla (například exponent
Povolíme také "exponenciály", mocniny typu en,
2n atd. A protože zase víme, že
To ale není všechno. Zatímco "lineární kombinace" mocnin a exponenciál (mocniny/exponenciály násobené čísly a pak sečtené/odečtené) se objevují často, povolíme ještě i jiné výrazy: logaritmy, faktoriály a dokonce i mocniny typu nn. Teď jsme připraveni formulovat otázku, kterou se tu snažíme řešit:
Otázka:
Máme výraz ve tvaru
Všimněte si, že všechny výrazy vypsané výše jdou do nekonečna pro
Řešení problému:
Jestliže necháme
Dominantním členem myslíme člen, který pro velká n převáží zcela nad
ostatními členy lineární kombinace, takže je možné je ignorovat, nebudou mít
vliv na tendenci, kterou má dominantní člen okolo nekonečna. Mezi typy
uvedenými výše (mocniny, exponenciály, logaritmy,...) existuje hierarchie.
Když řekneme "člen A převáží nad členem B pro velké hodnoty
n", pak tím míníme, že když zkoumáme limitu výrazu
Příklad:
Brzy uvidíme, že n2 převáží nad
Tento výsledek je samozřejmě jen hádání. Napsali jsme výše (v Řešení), že matematicky to můžeme udělat vytknutím dominantního členu. Zkusíme to:
Ten první člen teď jasně konverguje do nekonečna. Co dělá ta část v závorce? Zlomek je typu nekonečno dělené nekonečnem, který je řešen pomocí l'Hospitalova pravidla. Úžasnou shodou okolností jsme zrovna tento problém řešili v předchozí sekci L'Hospitalovo pravidlo, takže víme, že konverguje k nule. Můžeme tedy dokončit problém:
Všimněte si, že zlomek, který se objevil po vytknutí dominantní mocniny, opravdu konvergoval k reálnému číslu, přesně jak jsme předtím tvrdili.
Existuje způsob, jak zapsat korektně nejen ten správný matematický výpočet,
ale i naše intuitivní vývody. Když napíšeme
Je důležité si uvědomit, že tento způsob zápisu není univerzálně přijímán. Také nepředstavuje správné řešení - konec konců, jen jsme stejně hádali. Každá odpověď, kterou tímto způsobem dostaneme, se musí potvrdit matematickým výpočtem, například tou vytýkací procedurou předvedenou výše.
Když se díváme na mocniny v lineární kombinaci mocnin a podobných členů,
děláme vlastně dvě rozdílné věci. Nejprve se podíváme jen na samotné mocniny,
exponenciály a podobně, ve smyslu že ignorujeme konstanty, kterými jsou
násobeny. Tímto způsobem určujeme typ výrazu. Například výraz
Tento typ se používá, když se zhruba porovnává chování rozdílných
výrazů, zjišťuje se, které se dají ignorovat a podobně. Ale pak, když začneme
opravdu odhadovat, jaká je limita v nekonečnu, musíme vzít násobící konstanty
v úvahu. Takže sice řekneme, že
Jak vidíte, tato intuitivní procedura může být jednoduchá, správný zápis (matematický) může být občas delší, ale neměl by nikdy být zákeřný, pokud tedy správně identifikujeme a vytkneme dominantní člen. Což nás přivádí k hlavní části této sekce:
Zde je seznam výše jmenovaných výrazů v pořadí od nejvíce dominantnímu k nejméně dominantnímu. Každý vypsaný výraz převažuje nad výrazy vypsanými dále:
(1) mocnina nn,
(2) faktoriál n!,
(3) exponenciála qn for
(4) mocnina
(5) logaritmus
Při praktickém použití lidé často používají lidovější způsob, jak si pamatovat tuto hierarchii, pomocí frází jako "mocniny přebijí logaritmy" a "exponenciálny přebijí mocniny" atd.
Když zkoumáme lineární kombinace takovýchto členů, vždy nejprve nalezneme dominantní výraz. Může se tam ovšem výrazů této kategorie vyskytovat více, musíme proto také vědět, jaká je vnitřní hierarchie uvnitř každé kategorie. Zde je pravidlo jednoduché: U typů (3), (4) a (5) je vždy nějaký parametr (a či q) a ten nejvyšší je dominantní.
Připomeňme, že když
Problém dominance je vlastně jednou z možných odpovědí na otázku "které
nekonečno je větší". rotože pro
Příklad:
Jaká je limita výrazu
Řešení:
Jsou zde tři kategorie: exponenciály, mocniny a logaritmy. Exponenciály jsou
na seznamu nejvýše, proto dodají dominantní člen. Jsou dva kandidáti,
2n a 3n. Protože
Jak tento výsledek potvrdíme matematicky? Vytknutím dominantního členu.
Ty tři zlomky v závorce je nejlepší udělat zvlášť. První je jen geometrická posloupnost, druhé dva vedou na l'Hospitalovo pravidlo poté, co změníme zápis z posloupností na funkce:
Nakonec tedy dostaneme
Poznamenejme, že tento postup často aplikujeme i na výrazy, které nevypadají
zcelajako ty uvedené výše, ale dají se na ně převést algebraicky. Dva
nejtypičtější příklady jsou
Popsaný intuitivní postup také funguje, pokud jsou ve výrazu odmocniny, neboli pokud jsou některé části výrazu skryty pod odmocninami. Postupujeme pak následovně. Nejprve individuálně prozkoumáme každou odmocninu. Vždy určíme dominantní člen výrazu pod odmocninou, ten určí typ výrazu pod odmocninou. Když na tento člen aplikujeme příslušnou odmocninu, dostaneme typ celé odmocniny jako celku. Toto se dá potvrdit vytknutím, zbylá odmocnina pak musí mít vlastní limitu v nekonečnu.
Po zvládnutí všech odmocnin (pokud nějaké jsou) pak dáme všechny typy dohromady (ty samostatné i ty zastupující odmocniny) a určíme dominantní člen celého výrazu. Tento postup je někdy třeba vícekrát opakovat, v případě že se vyskytuje odmocnina, pod kterou je výraz s další odmocninou a tak podobně. Nakonec, až máme dominantní člen celégo daného výrazu, už postupujeme jako předtím; vytkeme jej z dominantního výrazu a určíme limitu.
Poznámka: Vytýkání je většinou jednodušší, pokud při něm jakoby opakujeme tu hádací proceduru; takže nejprve vytkneme dominantní členy z odmocnin a pak se postupně propracujeme úplně ven s dominantním členem celého výrazu.
Příklad: Najděte (jestli existuje)
Nejprve se podíváme na odmocninu. Pod ní jsou jen mocniny, jsou tedy ve
stejné kategorii a největší mocnina vyhraje. V našem případě je výraz pod
odmocninou typu n6. Když teď na něj aplikujeme odmocninu,
zjistíme, že odmocnina jako taková je typu
Získali jsme kýžený odhad (a cestou jsme viděli, že odmocnina se opravdu
chová jako
Teď se dostáváme k zajímavé věci. To hádání výsledku mohlo vlastně být špatně a ani bychom o tome nevěděli, protože jsme ještě neprobrali důležitou věc. Zatím jsme měli štěstí, ale teď je čas na
Varování: Co se stane, když je více diminantních členů? Pokud se
sčítají, dá se to udělat bezpečně. Pokud se ovšem odčítají (jinými slovy,
pokud by algebra limit vedla na neurčitý tvar
Pokud bychom například měli v posledním příkladě
Jaký je pro to důvod? Protože když hádáme, každý člen vlastně nereprezentuje
jen sebe, ale možná také spoustu dalších členů nižší důležitosti, které jsou
v něm schovány (např. ta část
Srovnejte následující dva příklady. Asi vám budou připadat trochu srandovní,
ale dobře ilustrují podstatu věci. U každého z nich budeme nejprve hádat (i
kdyby to bylo špatně) a pak správný výpočet. V prvním příkladě je hádání
správně; všimněte si, že ve vlastním výpočtu se po sečtení členů dá pořád
ignorovat člen
Pravidlo pro dominantní členy:
Pokud hledáme limitu hádáním a ve výrazu je více dominantních členů, můžeme je dát dohromady pouze v případě, že se ve výsledku nevykrátí.
Pokud ke krácení dojde, musíme se vzdát intuitivních výpočtů a zkusit jiné metody. Nicméně i pak může hádání pomoci jako příprava k jinému řešení, protože často je užitečné znát typy výrazů v posloupnosti. Jeden příklad lze nalézt v části Řešené příklady - Limita.
Teď jsme se dostali k nejobecnějšímu typu, který se dá řešit intuitivním výpočtem: zlomku, jehož čitatel a jmenovatel jsou typu, který jsme měli výše. Jak se s takovými zlomky vypořádáme? Nejprve zvlášť prozkoumáme čitatel a jmenovatel: Určíme dominantní členy a vytkneme je. Máme tak jeden dominantní člen v čitateli a jeden ve jmenovateli, takže je zkrátíme, pokud to jde, a najdeme limitu výsledného zlomku. I tady může pomoci škála mocnin. Jestliže preváží člen v čitateli, dostaneme nekonečnou limitu. Pokud převáží člen ve jmenovateli, dostaneme nulu.
To je vlastně docela přirozené. Obvykle dostáváme situaci nekonečna děleného nekonečnem, a převážení znamená, že jedno nekonečno je větší než to druhé, takže vyhraje. Například pokud nekonečno ve jmenovateli převáží nad nekonečnem v čitateli, znamená to, že jmenovatel je nakonec mnohem a mnohem větší než čitatel a výsledný zlomek je velice malý, což naznačuje, že zlomek jde k nule.
Zmínili jsme, že někdy je možno dominantní členy čitatele a jmenovatele zkrátit po vytknutí; dostaneme pak typ (či řád) zlomku jako celku.
Někdy v případě zlomku lidé dávají přednost krácení před vytýkáním a porovnáváním. Funguje to - ale jen někdy. Důkladná diskuze ohledně zlomků polynomů je v této poznámce.
Příklad:
Najděte (pokud existuje)
Nejprve se pokusíme odpověď intuitivně uhádnout, pak to uděláme pořádfným výpočtem. Měli bychom začít s odmocninami.
Ve třetí odmocnině je dominantním členem třetí mocnina, pro velké hodnoty n tedy můžeme ostatní členy ignorovat. Ve druhé odmocnině ve jmenovateli převládne exponenciála nad druhou mocninou, a tak tuto mocninu můžeme ignorovat.
Teď známe typy odmocnin, můužeme je tedy srovnat s ostatními členy a najít dominanty, zvlášť v čitateli a jmenovateli. Pak použijeme hierarchii mocnin k odhadnutí výsledku.
Jak jsme uvažovali? V čitateli mocniny přebijí logaritmy, a největší mocnina je druhá mocnina. Mimochodem, toto ukazuje, proč je důležité začít vždy odmocninami. Na první pohled by se totiž mohlo zdát, že n3 je v čitateli dominantou, ale po analýze odmocniny jsme viděli, že se to vlastně chová jen jako n.
Ve jmenovateli byla dominantní exponenciála 2n, takže jsme ignorovali zbytek. Nakonec jsme použili toho, že exponenciály přebijí mocniny, a dospěli k závěru, že zlomek konverguje k nule.
Teď bychom měli potvrdit náš odhad výpočtem - jmenovitě vytknutím. Ačkoliv by to zkušený student zvládl na pár řádcích, dáváme přednost ukázat více detailů a přidáme také poznámku ohledně těch dvou odmocnin; nabízíme proto výpočty zde.
Intuitivní výpočty je také možné aplikovat na komplikovanější výrazy. Zlomek typu popsaného výše je možno zavřít pod odmocninu a pak přičten k dalším mocninám, exponenciálám atd. Je těžké napsat přesně, na jaké výrazy je možné tento postup aplikovat, ale trochu nepřesně to vypadá takto: Základním stavebním kamenem je lineární kombinace mocnin, exponenciál, mocnin logaritmů, faktoriálů a obecných mocnin (jejich násobky jsou sčítány/odečítány). Tato základní kombinace může být uzavřena pod odmocninu, čímž vzniká další stavební cihla, která může bvýt dále použita v jiné lineární kombinaci. Takové lineární kombinace lze kombinovat do zlomku, a tyto procedury mohou být v libovolném pořadí opakovány.
Varování: Ignorování členů je možné pouze v základních lineárních
kombinacích, tj. součtech s mocninami, exponenciálami, mocninami logaritmů,
faktoriály a obecnými mocninami. Další výrazy (jao odmocniny, zlomky) mohouá
být ignorovány pouze poté, co jsou nahrazeny svými dominantními členy a
stanou se tak legitimními členy lineárních kombinací. Není možné ignorovat
členy ve výrazech, které nejsou součástmi odmocnin či zlomků, ale jsou
zamíchány do jiných výrazů. Například můžeme nahradit výraz
n − ln(n) pouhým n v případě, že je tento
výraz pod odmocninou nebo je to část zlomku, ale nemůžeme to už udělat,
pokud je to řekněme v argumentu exponenciály. Například snadno ukážeme, že
Pro mnoho příkladů odkazujeme na část Řešené příklady - Limita.
Ačkoliv se to nestává často, někdy jsou výrazy výše popsaného typu vynásobeny navzájem. V takovém případě se intuitivní procedura aplikuje na každý člen součinu a u každého se najde jeho typ. Typ celého součinu je pak dán součinem typů jednotlivých členů. Obvykle se ovšem takto nedostane jeden z typů, které jsme probrali (mocniny, exponenciály atd.), spíše součin takových typů. Takové výrazy nejsou vypsána v naší škále mocnin, takže zřídka získáme tímto zpúsobem konečné odpovědi. Často lze nicméně využít zkušenost s typy k získání užitečného náhledu.
Příklad:
Všimněte si, že jsme zjistili, že čitatel je typu
Nyní srovnáváme (po zkrácení) dva typy,
Odpověď zní: ne. Ve skutečnosti je