Řád funkce, asymptoty

V předchozí sekci jsme mluvili o porovnávání funkcí okolo nekonečna. Byl to vlastně jen speciální případ, funkce můžeme srovnávat v libovolném bodě jejich definičních oborů. V nekonečnu je to ale nejužitečnější, protože v ostatních bodech je to méně intuitivní. Začneme stručným přehledem řádu z teoretického pohledu, pak uvedeme asymptoty.

Řád funkce

Porovnávání funkcí bylo inspirováno praktickými problémy podobnými intuitivnímu výpočtu limit. V aplikacích (hlavně ve fyzice) často pomůže, když nahradíme komplikovaný výraz jednoduchým, aniž bychom udělali velkou chybu.

Definice.
Nechť a je reálné číslo, ∞ nebo −∞. Nechť f,g jsou funkce definované na nějakém prstencovém okolí bodu a.

Řekneme, že f = O(g) v a, jestliže existuje prstencové okolí U bodu a a konstanta A > 0 taková, aby pro všechna x z U platilo

| f (x)| ≤ A⋅g(x).

Řekneme, že f ≍ g v a, také značeno f = Θ(g), jestliže existuje prstencové okolí U bodu a a konstanty A₁, A₂ > 0 takové, aby pro všechna x z U platilo

A₁⋅g(x) ≤ f (x) ≤ A₂⋅g(x).

Řekneme, že f = o(g) v a, také značeno f << g, jestliže

Řekneme, že f ∼ g v a, jestliže

Někdy používáme značení f = O(g), x→a a f = o(g), x→a.

Druhou nerovnost můžeme také vyjádřit pomocí jen jedné konstanty, podmínka je ekvivalentní nalezení jednoho kladného A splňujícího (1/A)⋅g(x) ≤ f (x) ≤ A⋅g(x). To je zase ekvivalentní (1/A)⋅f (x) ≤ g(x) ≤ A⋅f (x), takže tohle je evidentně symetrická relace.

Limitní podmínka v definici o(g) se dá také napsat takto:

První dvě definice ukazují hrubé porovnání. Buď je f menší než g až na multiplikativní konstantu (okolo a), nebo je zhruba stejné jako g až na multiplikativní konstantu ( f ≍ g znamená, že graf f leží blízko a v pruhu okolo grafu g, jehož šířka je určena těmi dvěma konstantami). Další dvě definice vyjadřují podobnou ideu pomocí limit, ale vyžadují více. Když f = o(g) v a, tak to znamená, že blízko a je funkce f zanedbatelná v porovnání s g. Později se k tomu vrátíme. Podmínka f ∼ g znamená, že poblíže a jsou tyto funkce v zásadě stejné.

Přesně a matematicky řečeno, druhé dva pojmy jsou silnější. Jestliže f = o(g) v a, pak také f = O(g) v a. Jestliže f ∼ g v a, pak také f ≍ g v a.

Terminologie je zde drobet vágní. Těm dvěma symbolům o se říká "velké O" a "malé O", například bychom řekli, že "f je malé o g v a". Tyto dva symboly se někdy nazývají "Landauovy symboly". Tato dvě srovnání jsou uspořádání, tj. mají podobné vlastnosti, jako obvyklá nerovnost. Například jsou tranzitivní, neboli jestliže v a máme f = o(g) a g = o(h), pak f = o(h); totéž platí pro "velké O".

Obě relace ≍ a ∼ jsou ekvivalence, takže mají podobné vlastnosti jako obvyklá rovnost. Relace ≍ a velké O jsou spolu svázány podobně jako nerovnost a rovnost. Jmenovitě, jestliže v a máme f = O(g) a g = O( f ), pak tam nutně f ≍ g. To není pravda o malém o a relaci ∼.

Oba páry jsou spojeny i jiným způsobem: Jestliže v a máme f = O(g) a g ≍ h, pak tam f = O(h). Podobně jestliže v a máme f = O(g) a f ≍ h, pak tam h = O(g).
Obdobně jestliže f = o(g) a g ∼ h, pak f = o(h). Podobně jestliže f = o(g) a f ∼ h, pak h = o(g).

V případe "velkého O" a obou ekvivalencích často hovoříme o tom, že f a g jsou stejného řádu (magnitudy) v a. Ekvivalence ≍ se těžko dokazuje přímo, v praxi se často používá následující.

Fakt.
Jestliže existuje reálné číslo A > 0 tak, že

pak f ≍ g v a.

O užitečnosti relace ∼ jsme se zmínili už při hádání limit. Taky bývá velice užitečná ve fyzice. Tam se obzvláště často porovnávají funkce a mocniny. Jestliže máme komplikovanou funkci a chceme odhadnout její chování v nějakém bodě, můžeme zkusit porovnat jednotlivé části této funkce k mocninám a hned víme, které části se dají ignorovat.

Příklad: Předpokládejme, že máme funkci f + g a víme, že f ∼ x^A a g ∼ x^B v nekonečnu pro nějaká A,B > 0. Jestliže A > B, pak můžeme poblíž nekonečna ignorovat část g, matematicky ( f + g) ∼ f v nekonečnu. Poznamenejme, že z A > B také dostaneme g = o( f ) v nekonečnu.

Obecně máme toto:

Fakt.
Jestliže g = O( f ) v a, pak ( f + g) ≍ f v a.
Jestliže g = o( f ) v a, pak ( f + g) ∼ f v a.

Tyto úvahy jsme používali v předchozí sekci o intuitivním výpočtu v nekonečnu. Ve fyzice a numerické matematice také často porovnávají v nule. Tam to je drobet zrádné, protože škála mocnin tam funguje jinak, mimo jiné jsou v 0 větší mocniny přebity menšími mocninami.

Příklad: Předpokládejme, že máme funkci f + g a víme, že f ∼ x^A a g ∼ x^B v 0 pro nějaká A, B > 0. Jestliže A < B, pak můžeme okolo 0 ignorovat část g, matematicky, ( f + g) ∼ f v 0.

Příklad: Funkce f (x) = x² − x je v nekonečnu řádu x²; tj. f ∼ x² v nekonečnu. Na druhou stranu f (x) = x² − x je řádu x v 0 (ověřte!), tj. f ∼ x v 0.

Fyzici, inženýři a numeričtí matematici tohle používají docela často. Určí řád celého výrazu a pak ignorují všechny členy, které jsou o tohoto řádu.

Dají se také dělat jednostranná porovnání v a. Definice a vlastnosti jsou analogické.

Příklad: Funkce f (x) = x² − ln(x) je řádu x² v nekonečnu, tj. f ∼ x² v nekonečnu. Jinými slovy, v nekonečnu máme ln(x) << x² nebo také ln(x) = o(x²).

Na druhou stranu je f (x) = x² − ln(x) řádu ln(x) v 0 zprava (ověřte!), tj. f ∼ ln(x) v 0 zprava. Jinými slovy, v nule zprava máme x² << ln(x) nebo také x² = o(ln(x)). To je nepříjemné, neboť funkci f se nedá v 0 zprava přiřadit mocninný řád, ale to je život. Ověřte opravdu, že není A, pro které by bylo f ∼ x^A v 0 zprava.

Než se dostaneme k asymptotám, zkusíme spojit pojmy z této sekce s pojmy ze sekce předchozí. Tam jsme měli dva pojmy. Řád nám dovoloval odhadovat limity a je stejný jako řád ∼ zde. Je docela přesný, například 13x² + x je řádu 13x² v nekonečnu (ta 13 tam musí být). Také jsme používali pojmu typ, který byl velice užitečný při rozhodování, které členy nejsou důležité. Například 13x² + x je typu x² v nekonečnu. Tento pojem se podobný jako podobnost ≍, ale je v jistém smyslu volnější, protože nebere v potaz znaménko: -x² je typu x², ale neplatí -x² ≍ x². U limit typ používáme, protože je pohodlnější než relace ≍. Ale to už bylo dost vrtání se v maličkostech, pro běžného uživatele kalkulu je to daleko za horizontem.

Měli jsme několik pojmů porovnávajících funkce, ale žádný z nich nám nepomůže při kreslení grafů. Na to potřebujeme něco jiného. Všimněte si, že i když použijeme ten nejsilnější pojem, který jsme výše probrali, stejně nám to nepomůže pořádně nakreslit graf. Například v nekonečnu x² − x ∼ x², ale grafy těchto dvou funkcí se tam dost liší. Jsou to sice paraboly, takže základní tvar je stejný, ale liší se o x a proto se cestou do nekonečna budou od sebe grafy vzdalovat.

Zeptáme se tedy jinak: Jaký je rozdíl mezi dvěma funkcemi blízko určitého bodu a?

Definice.
Nechť a je reálné číslo, ∞ nebo −∞. Nechť f,g jsou funkce definované na nějakém prstencovém okolí bodu a.

Řekneme, že graf f je asymptotický pro graf g v a, jestliže

Všimněte si, že tato relace je symetrická, neboli jestliže je f asymptotická pro g v a (říkáme to i takto krátce), pak je také g asymptotická pro f v a. Tato relace je ve skutečnosti ekvivalence.

Jaký je vztah tohoto pojmu a řádu probraného výše? Máme jeden speciální případ. Jestliže f a g nejsou odděleny od 0, jak jdeme k a (viz níže), pak jsou tyto dva pojmy nezávislé. Jinak je asymptoticita silnější.

Fakt.
Předpokládejme, že existuje prstencové okolí U bodu a a konstanta k > 0 takové, že | f | > k a |g| > k na U. Jestliže jsou tyto dvě funkce navzájem asymptotické v a, pak tam také platí f ∼ g.

Někdy jsou tyto pojmy ale stejné.

Fakt.
Předpokládejme, že funkce f, resp. g konvergují v a k nenulovým A, resp. B. Pak jsou následující výroky ekvivalentní;
 (i)   A = B;
 (ii)   f a g jsou navzájem asymptotické v a;
 (iii)   f ∼ g v a.

Jinak asymptoticita obvykle dává víc informací. Nejtypičtější případ je, když obě funkce jdou do (mínus) nekonečna v (mínus) nekonečnu, pak je asymptoticita ostře silnější než pojem řádu. Například x ∼ (x + 7) v nekonečnu, ale tyto dvě funkce tam nejsou asymptotické.

Jeden z důvodů, proč asymptoticitu používáme prakticky výhradně pro a rovno nekonečnu či mínus nekonečnu, je to, že nám vůbec nepomůže, když kreslíme grafy okolo vlastních bodů. Uvažujme nějaké určité a, například a = 0. Funkce x² a x⋅sin(1/x) mají obě limitu 0 v a, takže když je odečteme, dostaneme zase jako limitu nulu, proto jsou v nule navzájem asymptotické. Když ale porovnáte jejich grafy, uvidíte, že jsou jejich tvary kolem počátku naprosto rozdílné.

Situace je proto obvykle následující. Je dána funkce a víme, že v nekonečnu jde do nekonečna (popř. mínus nekonečna atd.) Chceme vědět něco víc o tom, jak do toho nekonečna jde. Rádi bychom ji porovnali s jinou, pěknější funkcí, kterou už známe. Hledali bychom tedy kandidáta pro asymptotu. Protože je asymptoticita tak silná, zřídkakdy jej najdeme. Pokud se to ale podaří, můžeme velice dobře odhadovat tvar grafu dané funkce okolo nekonečna (popř. mínus nekonečna).

Nejčastěji hledáme coby kandidáty nějakou přímku. Když už se jednou rozhodneme, že budeme hledat přímky coby asymptoty, můžeme tento pojem rozšířit a také dostaneme pěkný algoritmus na nalezení asymptot (pokud nějaké jsou). Tím se ale posuneme trochu jinam, než je pojem řádu, a raději tedy necháme téma přímých asymptot do jiné sekce, jmenovitě asymptoty v části Derivace - Teorie - Průběh funkce.

Zpět na Teorie - Limita