Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu

Řešení: Je to standardní problém, máme najít limitu v nekonečnu výrazu, který existuje na okolí nekonečna (např. pro x > 0). Začneme tedy dosazením nekonečna do výrazu.

Jak jsme dostali ty jednostranné věci? 1/∞ = 0 a jestliže x jde do nekonečna, pak x > 0, tedy také 1/x > 0. Proto dostaneme 0⁺, neboli v sinu máme čísla blízko nule a kladná. Pak je také sinus takových čísel kladný a sin(0) = 0, dostaneme tedy 0⁺ ve jmenovateli.

Každopádně máme neurčitý rozdíl a doporučená metoda je použít algebru ke spojení oněch dvou výrazů. Zde se jako jediná rozumná cesta zdá společný jmenovatel.

Potřebujeme najít, kam jde neurčitý součin v čitateli. Jsou dvě možnosti. Víme, že jmenovatel je 0⁺, takže jestli ten součin v čitateli jde k limitě, který není 1 (třeba i k nekonečnu), pak lze problém dokončit algebrou limit. Na druhou stranu, kdyby ten součin šel k 1, pak problém jako celek je "nula nad nulou" a čeká nás spousta práce.

Podíváme se tedy samostatně na ten součin. Doporučený přístup k neurčitým součinům je změnit je v podíl, který bude určitě neučitý a můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo (nebo obecněji nějaký jiný trik, ale zde se nezdá, že by nějaký pomohl).

Stalo se tedy to nejhorší a čelíme neurčitému podílu. Mimochodem, všimněte si, jak přepínáme mezi 1/x (když chceme dosazovat) a x⁻¹ (když chceme derivovat); takové malé triky mohou docela usnadnit život. Teď je čas vrátit se ke zlomku, který je - jak jsme zrovna zjistili - neurčitý. Nezdá se, že by šel použít nějaký algebraický trik nebo krácení, sinus nepatří do inuitivních věcí, takže to vypadá na dalšího l'Hospitala.

Podobný problém, máme podíl a v něm je neurčitý součin. Dobrá zpráva je, že jmenovatel už nezlobí a můžeme jej vyhodnotit zvlášť. Co se dá říct o tom neurčitém součinu? Je podobný tomu, který jsme měli předtím, jen je v něm jedna mocnina x navíc, dá se tedy počítat úplně stejným způsobem. Chytřejší je ale tento trik, který použije přímo výsledku předchozího výpočtu:

x²sin(1/x) = x⋅xsin(1/x)→∞⋅1 = ∞.

Daný problém se tedy přemění v další neurčitý rozdíl.

Potřebujeme zase změnit tento výraz v podíl. Není ale nějaký jasný způsob jako společný jmenovatel, co se dá dělat? Jedna možnost je zkusit univerzální trik pro změnu součinu v podíl, ale to by bylo děsné (jako obvykle), pokud jste zvědavi, podívejte se sem.

Co jiného je možné udělat? V šuplíku neurčitý rozdíl je nápad, který zde může pomoci, jmenovitě nápad něco vytknout. Zde je přirozený kandidát: Vytkneme x. To změní tento rozdíl v neurčitý součin.

Mimochodem, použili jsme výše dokázaný fakt, že xsin(1/x) jde k 1. Tento součin je teď nutné změnit v podíl a na "dání dolů" máme přirozeného kandidáta x.

Nakonec jsme skončili s úplně stejným výrazem, se kterým jsme začali, jen s opačným znaménkem. Co to znamená? Vidíme, že jsme ve slepé uličce a přístup, který jsme zvolili, zde končí. Co se dá dělat? Jedna možnost je zkusit ten trik s vytknutím hned na začátku, ale to bohužel nevypadá o moc lépe.

Takže to také nepomohlo. Zabrala by nějaká jiná metoda z našeho arsenálu? Nezdá se: Nejde krátit, nejde intuitivně hádat, nic se nedá použít v těch krocích výše. Jsme tedy poraženi?

Nejsme. Trik spočívá v tom, že začneme jinak a řešíme jiný příklad. Všimneme si, že kořenem problému je řetízkové pravidlo při derivaci složeného sinu a složeného kosinu. Na to máme schovaný trik, který s tímhle pomůže: substituci. Pokud položíme y = 1/x, pak už sinus nebude složená funkce. Jak to půjde dál?

Jak snadné. Jak vidíte, substituce může být velice mocným nástrojem.

Poznámka: Ten trik se substitucí je pořád docela rozumný. Je ještě jeden způsob, jak se dostat k výsledku, a ten je trikovější a delší, nicméně také zajímavý. Při prvních dvou pokusech (měnili jsme rozdíl v podíl a součin) bylo největším problémem, že se po l'Hospitalech výraz nezjednodušoval. Viníkem byl člen 1/x, po každé derivaci se kolem rozmnožily 1/x². Jeden způsob, jak se toho zbavit, je použít substituci jako před chvílí. Jiný způsob je takto: Pokud dokážeme změnit všechny výskyty x na 1/x, pak se po derivování objeví členy 1/x² všude a půjde je zkrátit. Ukáže se, že toto je možné. První přístup (přes podíl) se udělá takto:

Druhý přístup (přes součin) funguje takto:

Je tedy možné tento problém vyřešit i bez substituce, ale je to trikovější a výpočty jsou hnusnější.

Poznámka: Všimněte si, že ten nepovedený l'Hospital, který se vracel zpět na začátek, lze použít k získání alespoň nějaké podmíněné informace. Jestliže limita existuje (což v té chvíli bylo hodně velké jestliže), pak ji můžeme označit L a ten poslední krok do slepé uličky říká, že L = −L. Proto jestli limita existuje, pak může být jen L = 0. Ta existence je docela problém, ale někdy se konvergence dá ukázat pomocí teorie.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita