Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu

Řešení: Je to standardní problém, máme najít limitu v nekonečno výrazu, který existuje na okolí nekonečna (např. pro x > 0). Začneme tedy dosazením nekonečna do výrazu.

kde N označuje limitu, která neexistuje. Můžeme se zkusit odvolat na algebru N, ale to nám stejně nepomůže, protože se tam říká, že ∞⋅N je neurčitý výraz. Víme, že sinus je omezená funkce, ale omezená krát nekonečno může být cokoliv, takže to zde nepomůže. Co uděláme? Jedna možnost je použít l'Hospitalovo pravidlo, protože ten nemá jen verzi pro neurčitý podíl, ale i obecnější pro typ "něco nad nekonečnem".

Zase máme výraz, který nelze vyhodnotit pomocí algebry limit nebo algebry N. Tentokráte už ale omezenost pomůže, protože "omezená krát nula je nula". Máme tedy

takže limita, kterou jsme dostali po l'Hospitalovi, neexistuje, což je dost špatné; l'Hospitalovo pravidlo říká, že rovnost je platná je tehdy, pokud limita napravo existuje. Zde neexistuje, takže ten krok s l'Hospitalem není ospravedlněný a daná limita může být cokoliv. Evidentně potřebujeme jiný přístup.

Tento příklad nezapadá přímo do nějakého standardního šuplíku, ale je trochu blízký šuplíku "polynomy v nekonečnu" a hlavně šuplíku "srovnání a oscilace". Když čelíme netypickému problému, je obvykle dobré získat intuitivní představu o chování daného výrazu, což volá po intuitivním přístupu. Co se stane, když se x stává velkým?

Sinus osciluje mezi −1 a 1, takže člen x⋅sin(x) osciluje mezi hodnotami x a -x, neboli jeho limita v nekonečnu neexistuje. To se přičte ke členu x², jak se porovnají? Oscilující člen není nikdy (v absolutní hodnotě) větší než x, takže je okolo nekonečna zanedbatelný ve srovnání s x². Proto dostaneme

Jak se takový odhad dokáže? Intuitivní výpočet nabízí vytknutí vedoucího členu. Zde je stejný v čitateli i jmenovateli, takže je rychlejší prostě obě části vydělit x².

Jak jsme věděli, že jde druhý člen k nule? Použili jsme pravidlo "nula krát omezená je nula". Co kdyby jste tohle neprobrali, takže byste to nemohli použít? Co když mu nedůvěřujete? Úplný důkaz se pak udělá metodami ze šuplíku "srovnání a oscilace". Máme oscilující část a ta je omezená, což souhlasí. Tvrdíme, že existuje vlastní limita, což se většinou dělá nejlépe Větou o sevření. Ukážeme detailně, jak se dá získat odhad pro daný výraz pomocí známého omezení a algebry. Protože nás zajímá limita v nekonečnu, budeme dělat odhady pro velká x, mimo jiné pak x > 0 (to se bude hodit).

Tím je problém uzavřen, dokázali jsme, že daný výraz jde k 1 v nekonečnu.

Poznámka: Abychom pro takové chování získali lepší cítění, podíváme se na pár modifikací našeho příkladu.

Příklad:

Čitatel je jako předtím, takže se chová jako x², ale tentokráte je jmenovatel jen x, takže by měl zlomek jít do nekonečna. Zase by se to dokázalo srovnáním, ale protože zde máme nevlastní limitu, můžeme zkusit jednostranné srovnání, je totiž jednodušší. Potřebujeme dolní odhad, abychom vytlačili daný výraz nahoru.

Příklad:

Teď máme jinou situaci v čitateli. Jak jsme už viděli, součin x⋅sin(x) osciluje mezi -x a x, takže když přičteme x, dostaneme něco, co osciluje mezi 0 a 2x. Pak vydělíme x, takže zlomek by měl oscilovat mezi 0 a 2, jak jdeme do nekonečna, neboli odhadneme, že limita neexistuje. Jak se to dokáže?

Jedna možnost, která tu funguje, je vydělit a použít algebru N.

Jenže tahle algebra se obvykle neprobírá, takže potřebujeme jiné řešení, které by uspokojilo všechny. V případě oscilace se obvykle používá Heineho věta. Abychom dokázali, že limita neexistuje, vytvoříme dvě posloupnosti {x_n} a {y_n}, které jdou do nekonečna, ale když je dosadíme do daného výrazu, dostaneme různé limity. Evidentně použijeme první posloupnost k vypíchnutí "kopců" na oscilující vlně, druhou obvykle lovíme "dolíky", zde ale bude snažší zkusit body "uprostřed svahu".

Nejprve definujeme x_n = π/2 + 2nπ. Pak x_n→∞. Když tohle dosadíme do daného výrazu f (x), dostaneme f (x_n) = 2→2.

Pak definujeme y_n = nπ. Zase y_n→∞. Když toto dosadíme do daného výrazu f (x), dostaneme f ( y_n) = 1→1.

Toto dokazuje, že f nemůže mít limitu v nekonečnu, protože by tato limita musela být rovna jak 2, tak 1, což je spor.

Příklad:

Čitatel je teď stejný jako v předchozím příkladě, takže osciluje mezi 0 a 2x. Když jej vydělíme x², celý zlomek by měl jít v nekonečnu k nule. Pokud se můžeme spolehnout na pravidlo "nula krát omezená je nula", pak počítáme takto:

Pokud je třeba dalšího důkazu, pak je nejsnažší řešení použít verzi věty o sevření s absolutní hodnotou.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita