Příklad: Určete všechny asymptoty funkce

Řešení: Nejprve musíme najít definiční obor. Čitatel existuje všude, stejně jako jmenovatel, takže jediná otázka je, zda se jmenovatel pro nějaké x nerovná nule. Přesně tuto otázku jsme řešili zde v části Řešené příklady - Použití derivace k důkazu nerovností, a ukázalo se, že výraz ve jmenovateli je vždy kladný. Definiční obor dané funkce je tedy celá reálná osa.

V tomto definičním oboru nejsou vlastní krajní body a daná funkce je všude spojitá, což znamená, že nejsou kandidáti pro svislou asymptotu. Zbývá tedy zjistit, co se stane v nekonečnu a mínus nekonečnu, tam jsou možné vodorovné a šikmé asymptoty. Prvním krokem je najít tam limitu, pokud s tím potřebujete pomoci, zkuste např. Limita v části Funkce - Přehled metod.

Jsou dvě možnosti, jak se s tímto problémem vypořádat. Jedna je použít obecnou verzi l'Hospitalova pravidla, které také funguje pro výrazy typu "něco děleno nekonečnem". Nemusíme se tedy zabývat tím, co se děje v čitateli, ale pořád je třeba zjistit, co se stane ve jmenovateli. Ukáže se, že ten neurčitý rozdíl dá nekonečno a je možné použít l'Hospitalovo pravidlo.

Jak jsme zjistili, co se děje ve jmenovateli? Nejspíše tím, že jsme odtamtud vytknuli dominantní člen, ale pak má smysl aplikovat tuto metodu na celý příklad a vytknout dominantní členy z čitatele i jmenovatele. Výpočty jsou trochu hezčí, když pomocí substituce změníme mínus nekonečno na nekonečno.

Stejně musíme použít l'Hospitala, jmenovitě abychom ukázali, že y²/e ^y jde v nekonečnu k nule, takže toto řešení je trochu delší. Pokud ale můžeme používat škálu mocnin ("exponenciály v nekonečnu přebijí mocniny"), pak je toto řešení kratší a zkušený "limitič" by uhodl správnou odpověď hned po substituci.

Každopádně máme v mínus nekonečnu vlastní limitu, což znamená dvě věci. Máme v mínus nekonečnu vodorovnou asymptotu y = 0 a není tam šikmá asymptota.

Teď se podíváme, co se děje v nekonečnu. Tam je situace podobná, zase máme volbu mezi l'Hospitalovým pravidlem a vytknutím. Ukážeme oba způsoby, tentokráte je vytýkání značně kratší (všimněte si, že exponenciála teď jde k nule, takže ve jmenovateli máme jiný dominantní člen).

Zde by bylo vlastně nejjednodušší prostě zkrátit x v čitateli a jmenovateli, zkuste si to. Zjistili jsme, že limita v nekonečnu je nevlastní. Není tam tedy vodorovná asymptota, ale může tam být šikmá. Abychom toto rozhodli, zkusíme nejprve najít A, viz např. Asymptoty v části Přehled metod - Průběh funkce.

Limita konverguje, což znamená, že je pořád šance na šikmou asymptotu. Rozhodne to další limita, když zkusíme získat B.

Limita konverguje, což potvrzuje, že máme šikmou asymptotu v nekonečnu. Její rovnice je y = x + 2. Získaná data můžeme vyjádřit náčrtem.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Průběh funkce