Příklad: Určete maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce

Řešení: Jako obvykle začneme definičním oborem. Je jediná podmínka, jmenovatel nesmí být nula, takže

D( f ) = (−∞,1) ∪ (1,∞).

Máme pro začátek dva intervaly, teď zjistíme, jestli je není třeba dále rozdělit, abychom dostali intervaly monotonie. Potencionální dělící body najdeme tak, že identifikujeme kritické body. Nejprve najdeme derivaci pomocí obvyklých pravidel.

V definičním oboru nejsou body, kde by derivace neexistovala, proto jediné kritické body jsou nulové body této derivace, x = −1 a x = 3. Počáteční dva intervaly rozdělí na čtyři intervaly ryzí monotonie. Teď k jejímu určení použijeme tabulku. Poznamenejme, že jsme použili uzavřené krajní body tam, kde je daná funkce spojitá.

Máme dva sousedící intervaly se shodnou monotonií. Je možné je spojit? Zde to vlastně nemusíme zkoumat, protože jsou oděleny dírou v definičním oboru a tudíž nemohou dát dohromady interval. Závěr je, že daná funkce je rostoucí na (−∞,−1⟩ a na ⟨3,∞) a je klesající na ⟨−1,1) a na (1,3⟩. Zbývá určit lokální extrémy.

Funkce f má lokální maximum f (−1) = −2 a lokální minimum f (3) = 6.

Teď načrtneme získaná data. K tomu pomůže, když si najdeme limity v krajních bodech intervalů definičního oboru.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Průběh funkce