Tečny a normály

Je mnoho způsobů, jak určit rovnici přímky v rovině. V naší situaci budeme hledat rovnici přímky, která prochází jistým bodem (a,b) a má směrnici k. Rovnice pak je

y − b = k⋅(x − a).

Protože bod leží na grafu dané funkce f, máme b = f (a). Směrnice tečny ke grafu je dána k_T = f ′(a), aby tato přímka i křivka měly v daném bodě stejný směr. Dostaneme tak rovnici tečny:

y − f (a) = f ′(a)⋅(x − a).

Jak dostaneme normálu? Její směr je kolmý na tečnu, proto její směrnici dostaneme z následujícího faktu.

Fakt.
Uvažujme dvě přímky v rovině, jejichž směrnice jsou k₁ a k₂. Tyto dvě přímky jsou navzájem kolmé tehdy a jen tehdy, když k₁⋅k₂ = −1.

Dostaneme tedy následující vzorec pro směrnici normály:

Proto je rovnice normály tato:

Pro příklad viz Tečna v Přehledu metod - Aplikace, podívejte se také na Řešené příklady - Aplikace.

Poznamenejme, že vzorec k_N = −1/k_T zahrnuje také případy, kdy je jedna z těchto směrnic nekonečná (svislá přímka) a druhá je nula (vodorovná přímka).

Rovnice přímky se dá napsat mnoha způsoby. Někteří lidé mají raději tvar y = A⋅x + B, jiní zase tvar Ax + By = C. Protože jsou všechny tvary ekvivalentní a je snadné mezi nimi přecházet, není problém dostat tvar, kterému dáváte přednost. Ten poslední je populární také proto, že přímo dává normálový vektor k dané přímce, následně i směrový vektor. Tyto vektory jsou užitečné při zkoumání geometrie. Jak je dostaneme?

Pokud známe směrnici k nějaké přímky, pak je její směrový vektor roven B = (1,k). To mimo jiné znamená, že když máme funkci f a bod a, pak v = (1,f ′(a)) je tečný vektor ke grafu f v a. Máme dva užitečné speciální případy:

Tečný vektor k implicitní křivce F(x,y) = C se dá také najít jako v = (dF/dy,−dF/dx).

Tečný vektor k parametrické křivce x = x(t), y = y(t) se dá také najít jako v = (,).

Když máme tečný vektor (u,v), dostaneme normálový vektor snadno jako (v,−u).