Slovo "rate" znamená rychlost změny nějaké kvantity (obvykle funkce, typicky obvykle k času). Často máme kvantit několik, každá se svou rychlostí změny. Pokud jsou tyto kvantity nějak spojeny, pak musí být rychlosti jejich změn také v relaci (proto "related rates", česky "rychlosti změny se vzájemným vztahem", což nezní tak pěkně), otázka pak ale je jak. Proces, kterým toto zjišťujeme, je vlastně docela snadný, vysvětlíme jej na jednoduchém příkladě.
Příklad: Nafukujeme balón, jehož tvar je vždy sférický. Foukáme do něj
vzduch konstantní rychlostí
Řešení: Zkušenost naznačuje, že takový balón nejprve roste rychle, ale pak se jeho zvětšování zpomalí, takže rychlost změny jeho poloměru rozhodně závisí nějak nepřímo na okamžitém poloměru. Potřebujeme zjistit přesnou podobu této závislosti.
Začneme identifikací kvantit, proměnných a dat. Hlavním parametrem je poloměr
r. Ten ale také závisí na čase,
Toto jsou tedy ony dvě rychlosti změny, které musíme dát do souvislosti, známá dV podle dt a neznámá dr podle dt. Abychom našli vztah mezi derivacemi, vždy nejprve najdeme vztah mezi samotnými kvantitami. Zde takový máme:
Teď prostě zderivujeme obě strany podle času, přičemž musíme pamatovat, že r je vlastně funkce času a proto je třeba použít řetízkové pravidlo.
Dostali jsme vzorec, který dává do souvislosti ony dvě rychlosti změny, můžeme tedy vyjádřit tu, kterou potřebujeme, pro zdůraznění času coby proměnné použijeme tečkového označení derivace:
Tento vzorec ukazuje, že když foukáme dovnitř vzduch konstantní rychlostí, pak se růst poloměru zpomaluje nepřímo úměrně s r2, takže to docela dost zpomaluje. Zpět k našemu příkladu, pořebujeme dosadit dané údaje:
Algoritmus, který jsme naznačili, je shrnut v Přehledu metod - Aplikace, je tam i příklad, další je v Řešených příkladech - Aplikace.