Příklad: Na přímém pobřeží je strom a přesně naproti němu, 100 m v moři, stojí maják. Silný a tenký paprsek světla na jeho vrcholu se otáčí rychlostí jedna otáčka za 4 sekundy, jeho světlo vytváří na břehu běžící světelnou skvrnu. Stojíte na břehu 100 m od stromu. Jak rychle se tato skvrna pohybuje, když jde mimo vás?

Řešení: Takto vypadá situace.

Potřebujeme její matematický popis. Důležité věci jsou paprsek, jehož pozice je dána jednoznačně jeho směrem, a světelná skvrna, jejíž pozice se mění podél pobřeží. Uvedeme tedy dvě proměnné coby funkce času. Jedna bude pozice "prasátka" x = x(t) podél pobřeží, potřebujeme zvolit nulový bod a jako logická volba se nabízí ten strom, tj. přesně naproti majáku. Směr je díky symetrii irelevantní, tak se rozhodneme, že se x bude zvětšovat směrem doprava, kde jsme my, a budeme dále předpokládat, že se světlo točí tímto směrem. Druhou proměnnou bude úhel, pod kterým paprsek svítí, měřen vzhledem ke spojnici majáku se stromem.

Tato volba je rozumná ze dvou důvodů. Za prvé, dovoluje nám to vyjádřit důležitá data ze zadání pomocí derivace, jmenovitě známe rychlost, jakou se mění úhel, a chce se po nás rychlost světelné skvrny, tedy rychlost změny její pozice. Vidíme tedy, že potřebujeme porovnat rychlosti změny, což je další indikace, že naše volba proměnných byla rozumná.

Pokud chceme najít vztah mezi rychlostmi změny, musíme nejprve najít vztah mezi funkcemi samotnými. To je docela snadné, z pravoúhlého trojúhelníka v obrázku máme

Obě strany této rovnice jsou ve skutečnosti funkcemi času, takže je můžeme zderivovat a dostaneme zase rovnici, nezapomeneme na pravé straně použít řetízkového pravidla pro derivaci složené funkce.

Tato rovnice samozřejmě funguje jen pro úhly, kdy světlo svítí směrem k pobřeží, tedy pro úhly z intervalu a jeho posunů o 2π.

Rychlost rotace napravo je dána tím, že světlo udělá celý kruh, tj. úhel 2π, za 4 sekundy, tedy opíše čtvrtinu kruhu za sekundu. Dostaneme

Zase to platí jen pro úhly popsané výše. Všimněte si, že se tento vzorec chová způsobem, který souhlasí s naší praktickou zkušeností. Rychlost světelné skvrny je nejmenší přesně naproti majáku (když je úhel nulový), a čím dále jsme od stromu, tím rychleji skvrna utíká. Zbývá najít rychlost v místě, kde stojíme. Tam je příslušný úhel roven π/4 a hned dostaneme odpověď.

To dělá nějakých 1131 km/h (nebo cca 710 mph), což je docela rychlé (například rychlejší než zvuk).

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Aplikace