Problém: Najděte Taylorův polynom stupně n se středem a pro danou funkci f.
Případ 1. n je konkrétní číslo.
Algoritmus:
Krok 1. Najdeme derivace f až po řád n.
Krok 2.
Dosadíme a do všech těchto derivací.
Krok 3.
Použijeme vzniklá čísla k vytvoření polynomu
Pro další informace viz Taylorův polynom v části Teorie - Aplikace.
Příklad: Najděte Taylorův polynom čtvrtého stupně se středem
Řešení: Najdeme potřebné derivace a dosadíme do nich a.
Teď sestavíme žádaný polynom.
Případ 2. n je obecné.
Algoritmus:
Krok 1. Najdeme derivace f až po dostatečně vysoký stupeň,
obvykle stačí 4 nebo 5.
Krok 2.
Do všech těchto derivací dosadíme a.
Krok 3. Tipneme, jak vypadá k-tá derivace pro obecné k.
Stačí uhádnout
Krok 4.
Použijeme těchto čísel k sestavení polynomu
Vyjádřit jej pomocí sumy bývá dobrý nápad.
Příklad: Najděte Taylorův polynom stupně n se středem
Řešení: Už jsme našli první čtyři derivace.
V levém sloupci vidíme, že při každé derivaci "přidáme" další 2 do násobení,
přidáme jich tolik, kolik je řád derivace. Odhadneme proto, že
Problém: Aproximujte f v určitém bodě b pomocí Taylorova polynomu daného stupně.
Algoritmus:
Krok 1. Vybereme vhodný střed a. Dva požadavky: Měl by být
co nejbližší k b a neměli bychom mít moc problémů při dosazování
a do f a jejích derivací.
Krok 2. Najdeme Taylorův polynom daného stupně se středem
a z Kroku 1 (viz výše).
Krok 3. Odhadneme
Příklad: Aproximujte
Řešení: Která čísla se snadno dosazují do
Sestavíme polynom:
Teď můžeme aproximovat.
Mimochodem, jak dobrý je tento odhad? K odhadu chyby použijeme Lagrangeův tvar zbytku.
Teď víme jistě, že
Pro další příklady viz Taylorův polynom v části Teorie - Aplikace a Řešené příklady - Aplikace, zajímavé použití lze najít v tomto příkladě v části Řady - Řešené příklady - Testování konvergence.
Zajímavý speciální případ je Taylorův polynom stupně 1, tedy tečna. Pro jednu užitečnou aplikaci viz Aproximace v části Teorie - Aplikace.