Příklad: Použijte tečnu k nalezení aproximačního vzorce pro

pro x blízko 1.

Řešení: Rovnice tečny v a je

Chceme aproximaci okolo 1, takže přirozená volba bodu, kde tu tečnu uděláme, je a = 1. Dostaneme

S trochou štěstí můžeme aproximovat (pro x "blízko" 1)

Protože 1 je středem naší aproximace, má smysl dělat věci vzhledem k tomuto bodu, mimo jiné nahradit x výrazem 1 + h. Pro h malé pak máme

Jak dobrá je tato aproximace? Tečna je vlastně Taylorův polynom stupně 1 v a = 1. Můžeme tedy uvažovat nějaké x > 0 a použít Lagrangeova tvaru zbytku k odhadu chyby. Protože nevíme, jestli je zvolené x větší nebo menší než 1, můžeme mít drobné problémy se značením; abychom se jim vyhli, označíme jako I uzavřený interval s krajními body 1 a x.

Maximum ve vzorci je rovno 1 pro x > 1, jinak je to ten druhý výraz. Přepíšeme to pomocí h:

Vidíme, že pokud je h velmi blízko k 0, pak je chyba zanedbatelná v porovnání s odhadem, takže ten odhad je dost dobrý. Například pokud se rozhodneme používat onu aproximaci pouze pro |h| < 0.5, pak je chyba nejvíce 0.09. Pro |h| < 0.2 je chyba nejvíce 0.007.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Aplikace