Příklad:
Řešení: Tento goniometrický integrál vypadá jednoduše. V čitateli je extra sinus i extra kosinus, můžeme tedy udělat jednoduchou goniometrickou substituci. Vzhledem k čitateli je jasné, jakou:
Vznikl nám integrál z racionální lomené funkce, což je už teoreticky snadné vyřešit. Bohužel, v praxi to tak snadné není, musíme totiž rozložit jmenovatel. Je to polynom čtvrtého stupně, takže pro jeho kořeny neznáme vzorce. Obvykle pak zkoušíme dosazovat pěkná čísla v naději, že uhodněme nějaké kořeny. Zkuste to, ale k ničemu to nebude, tahle mrška nemá žádné celočíselné kořeny, dokonce ani racionální kořeny. Pro většinu lidí tohle znamená konečnou. Nicméně tento polynom je tak jednoduchý, že už se v něm určitě někdo dříve vrtal, takže to chce zavzpomínat, možná se podívat po Internetu, ukáže se, že jej zle rozložit.
Co teď? Měli bychom rozložit tento výraz na parciální zlomky, což není tak hrozné, jak to vypadá, a pak bychom měli zkusit výsledné zlomky integrovat. Prvním krokem je doplnění na čtverec v oněch nerozložitelných kvadratických výrazech, sož zní méně a méně lákavě. Pokud si myslíte, že jste borci, zkuste si to, stručný nástin výpočtu je tady.
Zatím to ale necháme jako nouzovku do zálohy pro případ, že nevymyslíme nic jiného. Toto případné alternativní řešení nevyplyne z nějakého standardního postupu, bude to muset být individuální trik ušitý tomuto příkladyu na míru. Největší naděje leží v substituci. Jaké přicházejí v úvahu?
Kandidátů není mnoho, v zásadě substituce za sinus, za sinus na druhou a sinus na čtvrtou. Ta druhá vypadá zajímavě, protože derivace sinu na druhou je v zásadě to, co vidíme v čitateli, jasné znamení, že jsme na správné stopě. Zkusíme to.
Měli jsme štěstí, příklad je vyřešen.