Příklad: Vypočítejte integrál

Řešení: Při pohledu na integrál obvykle nejprve přemýšlíme o substituce. Zde se nabízí myšlenka zjednodušit složenou funkci substitucí, klasicky si vezmeme jako y vnitřní funkci x2. Na její úspěch pak potřebujeme v integrálu najít xdx, což si snadno vyrobíme vypůjčením jednoho x z mocniny.

Tohle by vypadalo jako perfektní integrál pro per partes, jmenovitě typ "odstraňujeme mocniny", kdyby nebylo malého detailu: Mocnina u y není celočíselná. Proto ji nedokážeme vyrušit derivováním a integrace per partes selhává. Žádné jiné rozumné řešení se nenabízí, takže tato substituce sice fungovala, ale vedla na integrál, který neumíme našimi nástroji vyřešit.

Musíme se tedy poohlédnout po alternativách. Integrál nezapadá do žádného tematického šuplíku, ze základních metod jsme už vyřadili substituci, parciální zlomky jsou evidentně mimo a zbývá integrace per partes.

To dokonce vypadá jako přirozená volba. Integrand je už napsán jako součin dvou částí, z nichž jedna je mocnina x, které se snadno zbavíme opakovaným derivováním. problém ale nastane s druhým požadavkem, ýe by ta druhá část měla být snadno integrovatelná. Tak schválně: Zvolíme si následující přirozené označení,

Lehce teď najdeme f ′(x) = 4x3, ale pak narazíme, neboť potřebujeme najít

a na tento integrál nezabere žádná z metod, které zatím známe. Proč tomu tak je? Jediná rozumná substituce by byla y = x2, ale na tu nám chybí v integrálu xdx. Kdybychom se to pokusili vytvořit algebrou, skončí to dalším neřešitelným integrálem, zkuste si to jako cvičení, viz zde. Metody ostatních šuplíků se nehodí.

Zkusíme tedy prohodit funkce:

Teď jsme sice dokázali spočítat potřebné funkce a metodu per partes použít, ale ten poslední integrál je ještě horší než ten, se kterým jsme začali.

Co je tedy tím správným postupem? Klíčem k úspěchu je náš úplně první pokus. Když jsme zkusili přirozené přiřazení pro integrování per partes, tak jsme měli problém se získáním g. Už jsme ale viděli, že integrování funguje, když je tam jedno x navíc.

To x navíc se snadno zařídí, prostě si jedno x přesuneme z f do g′. Konečně se někam dostáváme.

Ano, tak to má být, integrál zůstal v zásadě stejný, ale mocnina u x se snížila. Takže ještě jednou.

Skončili jsme s integrálem, který jsme před chvíli vzdali. Vzhledem k tomu, že to byla naše poslední šance, je načase se zeptat, jestli jsme si jisti, že na to naše metody nezaberou. Bohužel, odpověď zní, že ano. A nejen naše metody, je známo, že integrál z sin(x2) je jeden z těch, které určitě existují, ale nelze je napsat pomocé elementárních funkcí a operací. Řečeno krátce, tento integrál není klasickými metodami řešitelný. Naše výpočty ukázaly, že tento neřešitelný integrál je ekvivalentní tomu, který nám byl zadán, takže také náš příklad není řešitelný klasickými metodami.

Protože každé integrování per partes snižeuje mocninu o dva, vidíme, že když integrujeme xksin(x2) a k je sudé přirozené číslo, pak příklad nelze vyřešit. Pokud je na druhou stranu k liché, pak integrování per partes (nakonec) sníží mocninu na 1 a takové integrály se dělají snadno, viz výše.

Takže to byly klasické metody. Co na to metody neklasické? Existuje způsob, a to pomocí mocninných řad. Rozvineme sinus a zbytek je snadný (pokud umíte zacházet s nekonečnými řadami).

Tento výsledek není zrovna něco, co bychom běžně akceptovali jako odpověď, ale jsou aplikace, kde je takováto odpověď lepší než žádná.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Integrace