Obsah rovinné oblasti

Uvažujme oblast vymezenou shora grafem funkce f a zdola grafem funkce g na intervalu ⟨a,b⟩:

Pokud jsou obě funkce Riemannovsky integrovatelné, obsah této oblasti je roven

Příklad: Najděte obsah oblasti vymezené funkcemi f (x) = 2x a g(x) = 1 − x na intervalu ⟨1,2⟩.

Řešení: Nejprve nakreslíme obrázek:

Vidíme, že f ≥ g na ⟨1,2⟩, takže obsah je

Pokud potřebujeme najít obsah komplikovanější oblasti, musíme ji rozložit na oblasti základního typu a pak sečíst jednotlivé obsahy. To je například nutné v případě, že se zadané funkce proplétají - někdy je větší jedna, jindy druhá.

Někdy ušetří spoustu času jeden dobrý trik: prohození os. Obrázek se otočí podle hlavní diagonály, funkce se promění ve své inverzní funkce a integrál používá dy.

Příklad: Najděte obsah oblasti pod grafem funkce f (x) = arcsin(x) na intervalu ⟨0,1⟩.

Řešení: Nejprve namalujeme obrázek:

Obsah je

Tento integrál se počítá pomocí integrace per partes, což vlastně není tak hrozné, ale čas to zabere. Příklad se stane snažším, pokud prohodíme osy:

Obsah teď lehce najdeme:

Pokud vás zajímá, jak intuitivně sestavit správný integrál a jak se rozhodnout, zda prohodit osy či ne, podívejte se na druhý řešený příklad. Ukážeme tam, že k nalezení obsahu jsou vlastně dva přístupy. Jeden je si pamatovat uvedený vzorec a aplikovat jej, což může být občas trochu matoucí u složitějších příkladů. Druhý přístup je si pamatovat hlavní myšlenku za tímto vzorcem, tj. ten trik s proužky, a aplikovat jej na daný příklad.

Obsah oblasti dané parametrickou křivkou

Uvažujme parametrickou křivku x = x(t), y = y(t) pro t z ⟨α,β⟩.

Jestliže y(t) ≥ 0 pro všechna t a x(t) je monotónní, pak je obsah oblasti pod touto křivkou roven

Obsah oblasti dané křivkou v polárních souřadnicích

Uvažujme křivku danou v polárních souřadnicích předpisem ϱ = ϱ(φ) pro φ z ⟨α,β⟩.

Jestliže ϱ(φ) ≥ 0 pro všechna φ a β − α ≤ 2π, pak obsah šrafované oblasti je

Délka křivky
Zpět na Přehled metod - Aplikace