Objem rotačního tělesa

Uvažujme oblast R vymezenou shora grafem funkce f a zdola grafem funkce g na intervalu ⟨a,b⟩.

Metoda disků:

Uvažujme těleso obdržené rotací oblasti R okolo vodorovné osy rotace dané rovnicí y = A, kde A < min(g).

Objem je roven

Metoda slupek:

Uvažujme těleso obdržené rotací oblasti R okolo svislé osy rotace dané rovnicí x = A, kde A < a.

Objem je roven

Komplikovanější oblasti musí být rozloženy na oblasti základního typu.

Příklad: Uvažujte oblast pod grafem funkce f (x) = 1/x na intervalu ⟨1,2⟩. Najděte objem tělesa obdrženého rotací této oblasti okolo osy dané rovnicí y = −3.

Řešení: Začneme obrázkem

Vidíme, že vlastně máme oblast vymezenou shora funkcí f (x) = 1/x a zdola funkcí g(x) = 0. Protože rotujeme okolo vodorovné osy, musíme použít metody disků:

Pokud je vzniklý integrál příliš obtížný, někdy pomůže prohodit osy (viz Obsah). Náš příklad byl vlastně lehký, ale my jej stejně použijeme k předvedení tohoto triku. Otočíme obrázek okolo hlavní diagonály a změníme funkce na inverzní:

Vidíme, že je třeba rozdělit rotovanou oblast na dvě části. Nejprve rotujeme obdélník mezi funkcemi x = 2 a x = 1 na intervalu ⟨0,1/2⟩, pak rotujeme oblast mezi funkcemi x = 1/y a x = 1 na intervalu ⟨1/2,1⟩. Protože jsme prohodili osy, musíme integrovat s dy; svislá osa rotace pak znamená, že musíme použít metodu slupek:

Sečtením těchto dvou objemů dostaneme odpověď:

Tímto způsobem to bylo obtížnější. Po získání praktických zkušeností je obvykle lehké rozpoznat z tvaru oblasti, kdy se vyplatí prohodit osy.

Stejně jako tomu bylo u obsahu, i pro výpočet objemu existují dva přístupy. Jednak je možné si pamatovat ty obrázky a vzorce nahoře, což může být v komplikovanějších příkladech trochu matoucí. Je také možné si pamatovat hlavní myšlenku za oběma metodami, tj. tu fintu s rotujícími proužky, a aplikovat ji na daný příklad. Tento druhý přístup - pokud je dobře zvládnut - se vyplatí zejména v situacích, kdy bychom rádi prohodili osy. Je to předvedeno v tomto řešeném příkladě.

Objem rotačního tělesa daného parametrickou křivkou

Uvažujme parametrickou křivku x = x(t), y = y(t) pro t z ⟨α,β⟩. Předpokládejme, že y(t) ≥ 0 pro všechna t a že x(t) je monotonní. Uvažujme oblast pod touto křivkou:

Objem tělesa získaného rotací této oblasti okolo vodorovné osy rotace dané rovnicí y = A, kde A ≤ 0, je roven

Objem tělesa získaného rotací této oblasti okolo svislé osy rotace dané rovnicí x = A, kde A < min(x(t)), je roven

Povrch rotačního tělesa
Zpět na Přehled metod - Aplikace