Řešení: Umístíme kruh středem do počátku:

Nejprve to zkusíme přes graf funkce. Protože je obrázek symetrický, obsah kruhu je roven dvakrát obsah horní poloviny. Která funkce má za graf horní půlkružnici? Protože je kružnice dána rovnicí x² + y² = R², dostaneme (pro horní polovinu)

Obsah kruhu tedy je

Všimněte si, že integrál byl standardního typu ze šuplíku "odmocnina z kvadrátu".

Centrovaná kružnice o poloměru R se dá také popsat pomocí parametrických rovnic x = Rcos(t), y = Rsin(t), pro t mezi -π a π (například). Abychom ale našli obsah, musíme uvažovat jen nějakou část, kde je x monotónní, takže zase spočítáme obsah horní poloviny, což odpovídá t měnícímu se od 0 do π, pak výsledek zdvojnásobíme.

Do třetice je také možno vyzkoušet polární souřadnice. Centrovaná kružnice o poloměru R je dána rovnicí ϱ(φ) = R pro φ měnící se například mezi 0 a 2π. Obsah mezi touto křivkou a počátkem je pak

Protože kruh je invariantní vzhledem k rotaci kolem počátku, není žádné překvapení, že polární souřadnice vedly k nejjednoduššímu řešení.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Aplikace