Příklad: Vyšetřete konvergenci následující řady funkcí:

Řešení: Nejprve se podíváme na bodovou konvergenci. Budeme považovat x za parametr a vyšetříme konvergenci výsledné řady reálných čísel. V typickém případě bychom teď testovali absolutní konvergenci pomocí nějakých testů, tento přístup ukážeme v této poznámce. Takový přístup je obecnější, ale zato dává méně informace, hlavně nám neřekne, jaký je součet řady. Obvykle toto omezení akceptujeme a rovnou jdeme na testy, proč tedy ne tady?

Kdyby od nás nečekali součet této řady, jen rozhodnutí o její konvergenci, tak by nám tu řadu zadali bez limit pro index, protože ty jsou pro testování konvergence irelevantní. To, že tam ty limity jsou, je jasná nápověda. Potřebujeme tedy nějaký lepší nástroj a pomocí chytré finty jej i dostaneme. Pokud si označíme zlomek v mocnině jako y, dostaneme geometrickou řadu. Víme, kdy geometrická řada konverguje, je to přesně když y| < 1; konvergence je pak také absolutní. Daná řada tedy konverguje (absolutně), přesně když

Pomocí geometrické řady také najdeme součet naší řady.

Závěr: Daná řada konverguje na oboru konvergence (−1/2,∞) k funkci f (x) = 1 + x. Konvergence je tam absolutní, takže (−1/2,∞) je také obor absolutní konvergence.

Jak je to se stejnoměrnou konvergencí? Začneme zkoumáním rozdílu mezi f a jedním konkrétním částečným součtem sN na právě zjištěném oboru konvergence. Zase využijeme, že tento rozdíl je pro geometrickou řadu znám, a substituci y = x/(1 + x).

Protože toto supremum nejde k nule pro N jdoucí do nekonečna, nemáme stejnoměrnou konvergenci. Kde dochází k problémům? Když se podíváme na monotonii funkce v předposledním supremu, vidíme, že je rostoucí na (−1,1) pro N sudé, a je klesající na (−1,0⟩ a rostoucí na ⟨0,1) pro N liché. V obou případech je hodnota v 0 nulová. Když to dáme do absolutní hodnoty, tak vidíme, že výraz v posledním supremu začíná na hodnotě 1/2 v (−1)+ a klesá na nulu (což se stane v počátku), pak začne růst a jde do nekonečna v 1-. Pokud tedy chceme supremum přinutit, aby šlo k nule při rostoucím N, musíme tyto dva konce odříznout. V řeči x to znamená, že musíme odříznout krajní body oboru konvergence −1/2 a nekonečno. Pomůže to? Zvolme nějaká reálná čísla a, b splňující −1/2 < a < b a uvažujme množinu M = ⟨a,b⟩. Jak se tato množina přeloží do jazyka y? Všimněte si, že funkce x/(1 + x) je rostoucí na oboru konvergence, takže se množina M převede na interval a/(1 + a),b/(1 + b)⟩ pro y; všimněte si také, že oba krajní body v tomto intervalu jsou v absolutní hodnotě menší než 1; to bude důležité při počítání limity. Teď jsme připraveni odhadovat.

Závěr: Daná řada konverguje k funkci f stejnoměrně na množinách typu M=⟨a,b pro libovolné a, b splňující −1/2 < a < b.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí