Příklad: Vyšetřete konvergenci následující řady funkcí:
Řešení: Nejprve se podíváme na bodovou konvergenci. Budeme považovat x za parametr a vyšetříme konvergenci výsledné řady reálných čísel. V typickém případě bychom teď testovali absolutní konvergenci pomocí nějakých testů, tento přístup ukážeme v této poznámce. Takový přístup je obecnější, ale zato dává méně informace, hlavně nám neřekne, jaký je součet řady. Obvykle toto omezení akceptujeme a rovnou jdeme na testy, proč tedy ne tady?
Kdyby od nás nečekali součet této řady, jen rozhodnutí o její konvergenci, tak
by nám tu řadu zadali bez limit pro index, protože ty jsou pro testování
konvergence irelevantní. To, že tam ty limity jsou, je jasná nápověda.
Potřebujeme tedy nějaký lepší nástroj a pomocí chytré finty jej i dostaneme.
Pokud si označíme zlomek v mocnině jako y, dostaneme geometrickou
řadu. Víme, kdy geometrická řada
konverguje,
je to přesně když
Pomocí geometrické řady také najdeme součet naší řady.
Závěr: Daná řada konverguje na oboru konvergence
Jak je to se stejnoměrnou konvergencí? Začneme zkoumáním rozdílu mezi
f a jedním konkrétním částečným součtem sN
na právě zjištěném oboru konvergence. Zase využijeme, že tento rozdíl
je pro geometrickou řadu znám, a substituci
Protože toto supremum nejde k nule pro N jdoucí do nekonečna, nemáme
stejnoměrnou konvergenci. Kde dochází k problémům? Když se podíváme na
monotonii funkce v předposledním supremu, vidíme, že je rostoucí na
Závěr: Daná řada konverguje k funkci f stejnoměrně na
množinách typu