Šuplík "exponenciála"

Tento šuplík je o následujícím faktu:

Všimněte si, že daný výraz je typu 1^∞, je tedy možno tuto limitu také najít standardním způsobem popsaným v šuplíku "neurčitá mocnina", stejně jako další posloupnosti zmíněné v této sekci. Tato procedura je nicméně poněkud delší, takže pokud je možné použít zde popsaný trik, je to většinou kratší a pohodlnější.

Výše citovaný fakt je samozřejmě možné přímo použít, když si všimneme, že daná posloupnost vyhovuje tomuto tvaru. Mnohé další posloupnosti mohou být ovšem změněny na tyto formu. Nejtypičtější příklad je tento:

V této posloupnosti jsou tři "komplikace" a my si ukážeme, jak se s nimi vypořádat. Často se vyskytnou příklady jen s jednou či dvěma těmito komplikacemi, pak se prostě přeskočí irelevantní kroky a aplikují se jen postupy příslušné komplikacím, které tam jsou.

Krok 1. Prvním krokem je změna zlomku v základu ve výraz typu "1+něco". To se udělá tím, že se zlomek vydělí se zbytkem, čímž vznikne výraz

Teď jsme dostali tvar, který je podobnější tomu ve faktu.

Krok 2. Dalším krokem je upravit zlomek v základu tak, aby měl ve jmenovateli jen proměnnou. To se udělá pomocí substituce m = an + D:

Připomeňme, že potřebujeme, aby m→∞, což platí pro a > 0. Co když je a záporné? To se snadno napraví: Pokud je a záporné, "přesuneme znaménko nahoru", neboli napíšeme C/(an + D) = −C/(−an − D), teď je koeficient (−a) u n kladný.

Základ teď vypadá přesně jako u vzorce nahoře.

Krok 3. Komplikace v exponentu se spraví snadno: Izoluje se m algebraicky.

Limita takového výrazu se pak snadno najde.

Příklad:

Další příklady tohoto typu lze nalézt v části Cvičení - Limita.

Další šuplík: posloupnost v pěkné funkci
Zpět na Přehled metod - Limita