.
Pokud chcete nějaký text o limitě posloupnosti sledovat zároveň ve vedlejším okně, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.
Problém konvergence je centrální otázkou při zkoumání posloupností. Jako u každé "dobré" otázky, najít odpověď není vždy snadné a často se musí překonávat přkážky. Pro mnohé problémy máme specifické metody a triky. Pokud chcete být úspěšní při výpočtu limit, je důležité si vybudovat (cvičením) mentální "šuplíky" problémů, každý šuplík obsahující limitní příklady jednoho konkrétního typu. Když se naskytne problém, najdete příslušný šuplík a vytáhnete z něj vhodnou metodu řešení. Často se tak nedostane odpověď, jen se posloupnost změní v jinou, takže je nutno použít postupně několik triků. Existují také příklady, které se nehodí přímo do žádného šuplíku, jedinou nadějí pak je intuice a zkušenost.
Nejprve stručně shrneme, jaké odpovědi je možné dostat. Daná posloupnost může
mít limitu, která je reálné číslo (vlastní limita). V takovém případě
řekneme, že posloupnost konverguje (či je konvergentní). Jinak
je posloupnost divergentní.
Mezi divergentními posloupnostmi jsou některé "pěknější": jdou do nekonečna
nebo mínus nekonečna, neboli mají nevlastní limitu. Pokud je nějaká
limita - konečná pro konvergentní posloupnosti či nekonečná - řekneme, že
limita existuje, protože pořád ještě dostáváme nějakou informaci. Poslední
případ je, že žádná limita neexistuje, ani konečná, ani nekonečná. V takovém
případě říkáme, že limita neexistuje.
Začátečníci někdy mají příbuzný problém kdy neví přesně, jak dlouho ve výpočtu držet symbol "lim". Pro pár myšlenek viz tato poznámka.
Otázka: Najděte limitu
.
Řešení: Nejprve stručně popíšeme postup řešení, detaily přidáme později v poznámkách.
Krok 1. "Dosadíme" nekonečno do daného výrazu an. V typickém případě nejprve vyhodnotíte malé a jednodušší části daného výrazu individuálně s pomocí znalosti základních limit a pak je dáte dohromady pomocí "algebry limit". U mnoha příkladů pomůže, pokud znáte a aplikujeme intuitivní výpočet, zvláště škálu mocnin.
Někdy pomůže daný výraz před dosazením nekonečna zjednodušit, tím se dá vyhnout některým problémům. To zvlášť platí o mocninách se zápornými exponenty, například je lepší nahradit n−1 výrazem 1/n, protože tento je lepší pro intuici.
Co se může stát?
a) Někdy rovnou dostanete odpověď. Jsou dva druhy konečné odpovědi.
Za prvé, algebra limit (a intuitivní výpočty) mohou vést na určitý výraz
(reálné číslo, nekonečno či mínus nekonečno); to je pak odpověd na limitní
otázku. Poznamenejme, že limitní algebra a nekonečno nepatří do "opravdické
algebry", takže takže by se to nemělo psát jako součást "oficiálního řešení".
Příklad.
Za druhé, algebra limit (a intuitivní výpočet) mohou vést k výrazu, o kterém je známo, že nemá limitu (např. použitím "algebry N"); odpověď pak zní, že daná limita neexistuje (viz Poznámka níže).
b) Druhá možnost je, že "dosazení nekonečna" nevedlo k odpovědi, protože se něco pokazilo. V takovém případě musíte zkusit nějaké triky, čili je čas přejít na další krok.
Krok 2. Jestliže intuitivní výpočet a algebra limit selhaly, musel za tím být nějaký problém. Pro mnoho druhů problémů existují docela spolehlivé metody, takže by bylo dobré také vědět něco o populárnějších problémech (např. o neurčitých výrazech). Ačkoliv Krok 1 selhal, přesto by vám měl udělat cennou službu, jmenovitě by měl identifikovat, jaký máte problém. To vám pomůže v zařazení vašeho problému do příslušného "šuplíku", pak už jen aplikujete metodu v tomto šuplíku doporučenou.
Neurčité výrazy jsou převažujícím důvodem pro selhání v Kroku 1, naštěstí je
pro každý z nich speciální šuplík s vhodnou metodou.
• šuplík "1/0",
• šuplík "neurčitý
podíl" 
,
,
• šuplík "neurčitý
součin"
• šuplík "neurčitý
rozdíl"
• šuplík "neurčitá
mocnina"
Často je ale namísto takového obecného šuplíku lepší použít šuplík
specializovaný na určitý výraz, který se objevuje v limitě:
• šuplík "polynomy,
součty a podíly s mocninami",
• šuplík "rozdíl
odmocnin",
• šuplík "exponenciála",
neboli 
a podobné výrazy.
Pak je tu šuplík, který není konkrétně zaměřen na určitý typ výrazu či
problému, ale nabízí obecnější způsob, jak se vypořádat s oscilacemi a
obtížně uchopitelnými příklady (např. když obsahují výrazy, které
nejdou derivovat):
• šuplík "srovnání
a oscilace", který typicky obsahuje limity jako
A konečně jsou tu dva šuplíky s metodami, které samy o sobě nic nevyřeší,
ale někdy to řešení výrazně přiblíží tím, že danou limitu zjednoduší:
• šuplík "posloupnost
v pěkné funkci",
• šuplík "substituce".
Někdy vás metoda z příslušného šuplíku dovede k odpovědi. Docela často ale jen dostanete jinou limitu k výpočtu, což znamená, že se vrátíte zpět ke Kroku 1 a začnete znovu a třeba i ještě a ještě jednou, dokud nedostanete odpověď. V případě, že se vracíte ke Kroku 1, může být pro další úspěch rozhodující, když zjednodušíte výraz v limitě. To je zvlášť důležité v případě, že je výraz v limitě docela komplikovaný. V takových případech je často možné identifikovat "pěkné" části výrazu, jejichž limity znáte a které nejsou součástí "problému", který vás čeká; je obvykle velice moudré oddělit tyto "pěkné" části pomocí věty o limitě a operacích a vyhodnotit je zvlášť. Pro příklady a důležitý komentář se podívejte na tuto poznámku.
Existují posloupnosti, které se nehodí do žádného typu, který tady probíráme (neboli nehodí se do žádného z výše uvedených šuplíků). Pak máte o to lepší šance na úspěch, oč lepší je vaše zkušenost a pochopení pojmu limity.
Toto shrnutí postupu by mělo dávat víc smyslu, když se podíváte na Řešené příklady - Limita a porovnáte, jak jsou řešeny, s tímto obecným popisem řešení. Najdete tam také další užitečné triky.
Varování! Někdy má posloupnost ve vašem příkladě části, které dokážete hned spočítat, a části, které vyžadují další práci. Mohlo by vás to svádět k tomu, že rovnou dosadíte výsledky za "pěkné části" a pak vyhodnotíte zbytek; jinými slovy, že byste dosadili nekonečno jen za některá n a ostatní nechali na později. Tohle obecně nefunguje! Pro detaily viz tato poznámka. Obecně buď dosazujeme všude v limitě, nebo nikde.
Začátečníci mají někdy problém s tím, jak dlouho ve výpočtu držet symbol "lim". Pro bližší vysvětlení se můžete podívat na tuto poznámku.
Poté, co dosadíte nekonečno o dané posloupnosti, byste měli být schopni rozeznat, co se stane. Pro "kladnou" odpověď, kdy dostanete limitu, potřebujete znát základní limity, škálu mocnin a "algebru limit". Znalost neurčitých výrazů je zásadní pro rozeznání případů, kdy máte problém, který musí být dále zkoumán, a také vám pomůže vybrat na něj správný šuplík. Toto vše bývá studenty docela zvládnuto.
Méně studovaná, ale stejně důležitá je schopnost rozeznat, které limity neexistují. Dobrý začátek je zapamatovat si, že následující limity neexistují:
Takových je více, rozličné způsoby, kterými může limita neexistovat, lze nalézt v části algebra N.